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重要 例題 35
不等式の証明の拡張
|a|<1,|6|<1, |c|<1 のとき, 次の不等式が成り立つことを証明せよ。
基本 27,29
(2) abc+2>a+b+c
(1) ab+1>a+b
CHART & THINKING
似た問題
1 結果を使う 2 方法をまねる
(1) 大小比較は差を作る方針。
(2) 文字が多いため, 差を作る方針では煩雑になる。 そこで, (2) は, (1) の2文字(a,b)か
ら3文字(a,b,c)に拡張された問題であることに注目すると、1の方針で証明できる。
うだ。 (1) の結果をどのように利用すればよいだろうか?
|a|<1,|6|<1から|ab|<1であることに注目。 また, (1) を1回利用して不十分な
ら, 2回利用することも考えよう。
解答
$84 (= x +.00
(1) (ab+1)-(a+b)=(6−1)a-(6-1)=(a-1)(6-1)
|a|<1, |6|<1であるから a-1<0, 6-1<0
よって
(a-1)(b-1)>0
すなわち (ab+1)-(a+b)>0
したがって
ab+1>a+b
(2) |a|<16|6| < 1 であるから
|ab|<1
|ab|<1,|c|<1 であるから, (1) を利用して
(ab)c+1>ab+c
abc +2 > ab+c+1
(ab+1)+c>(a+b)+c
abc+2>a+b+c
よって
(1) から
ゆえに
別解 (abc+2)(a+b+c)=(bc-1)a+2-b-c
|b|<1, |c|<1 であるから
よって
bc-1<0
|a|<1 であるから a <1
ゆえに
よって
0=(3+v)sv+x²(x+y)
0=(sx+*(s+x+
|bc|<1
( bc-1)a>(bc-1)・1
( bc-1)a+2-6-c>bc-1+2-6-c
■RACTICE 35°
|b|<1, |c|<1 であるから
ゆえに
(b-1)(c-1)>0
したがって abc+2>a+b+c
=(b-1)(c-1)
6-1<0,c-1 <0
大小比較差を作る
-1<a<1, -1<6<1
S+V)
← 結果を使う
TU
(1) の不等式でαを abに
bをcにおき換える。
ab+1>a+b の両辺に
cを加える。
大小比較差を作る
|-1<bc<1
α< 1 の両辺に 負の数
bc-1 を掛ける。
