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基礎問
148 第5章 微分法
81 微分法の不等式への応用
(1) x>0のとき,> 1/2+x+1 が成りたつことを示せ.
I
(2) lim = 0 を示せ .
H18
(3) limxlogx=0 を示せ.
精講
x→+0
(1) 微分法の不等式への応用は数学ⅡI・B 96, 数学ⅡI・B97で学習
済みです. 考え方自体は何ら変わりはありません。
(2)は78,(3)は演習問題 79 にでています.
大学入試で,これらが必要になるときは,
Ⅰ. 直接与えてある (78)
ⅡI. 間接的に与えてある(演習問題79)
ⅢI. 証明ができるように、使う場面以前に材料が与えてある (81
のいずれかの形態になっているのがフツウですが,たまに, そうでない出題も
あります。
だから、この結果は知っておくにこしたことはありません。もちろん,証明
の手順もそうです。(1) や (2) 不等式の証明,(3) 極限という流れは 44,45で
学んだはさみうちの原理です。
解答
(1) f(x)=e_ (12/21) とおく.
+:
f'(x)=e*-(x+1), f"(x)=e-1
x>0のとき, e> 1 が成りたち, f" (x>0
したがって,f'(x) は x>0 において単調増加.
ここで,f'(0)=0 だから, x>0 のとき, f'(x) > 0
よって, f(x) は x>0 において単調増加.
ここで, f(0)=0 だから,x>0のとき, f(x) > 0
žk, x>0 ©¢¾, eª > 1⁄2x²+x+1
y=e² 上の点(0, 1) における接線を
求めると, y=x+1 になります。 こ
のとき,右図より y=er が y=x+1
より上側にあります。だから, x>0 では
x+1, すなわち,f'(x) > 0 であることが
わかります.
(2) x>0 mčš, (1)±h eª> {/r²+x+1> {/r²
参考
lim -= 0 だから, はさみうちの原理より
2
x
" 0<
...
0
演習問題 81
2x
<<x²+2x+2
lim=0
注解答では,x+1を切り捨てていますが,そのままだと次のように
なります.
lim(-tlogt)=limax=
また, lim-tlogt) = -lim (tlogt)
t → +0
t→ +0
IC
t→+0
(3) (2)において, x=log 3/12 とおくと,t+0 のとき,→∞
また,ex=elog/l=1
t'
ポイント
t→+0
lim
IC
et
0<-
x=-logt だから,
I→∞0
I
limlogt0 すなわち, lim xlogx=0
x→+0
2
x+2+
-=0 lim
X-00
= 0 を示せ .
logr
IC
2
I
A
(1) x>0 のとき,√x>10gを示せ.
logr
(2) lim
y=ez
149
y=x+1
=0 lim xlogx=0
x→+0
第5章
