[問題]
正四面体の各頂点を A1, A2,A3, A4 とする。 ある頂点にいる動点Xは,同じ頂
点にとどまることなく、1秒ごとに他の3つの頂点に同じ確率で移動する。 X が A; に
n 秒後の存在する確率をP;(n) (n=0, 1,2,...)で表す。
P1(0)=1, P2(0)=1/12, Ps(0)=
P3
P4(0) =
とするとき,P(n) と P2(n) (n=0,1,2,...) を求めよ。
ポイント Xがn+1秒後に Ai に存在するのは, n秒後にA; と異なる頂点にいて,1
秒後に A に移動するときのことである。
このことから{Pi (n)} についての漸化式を作る。
Pi (n+1)=1/23(1-P1(z))
解答
数列 {Pi (n)|n=0, 1, 2, …....} の満たす漸化式を求める。 n + 1 秒後に A1 に存在
するのは,n秒後に At 以外の点にいて、その点から 1/3の確率でA1に移る場合に限
るので
が成り立つ。 ①は
P(x+1)-1/21(-1/2)(A^(木)-1)
と変形されるので,
1
8
9
P₂(n)
Pi (n) = 1 + ( - )" x ²
4
4
..(1)
P,(n+1)=-/3/3P,(n)+1/1/3
-)
P₁ (n+1) - = - = (P₁ (n)-1)
Pi(z)-1/12=(-1/3)^(P.(0)-142)=0 :. P₁(n)=1/1
同様に, {Pz(n) | n=0, 1,2, ······} も同じ形の漸化式を満たすので
Pa(n)-1/2=(-1/3)^(P2(0)-1)=(-1)x/14
2 = = = 2 + = →>2=
A1
}}
