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重要 例題67
定義域によって式が異なる関数 (1)
[a] は実数a を超えない最大の整数を表すものとする。
(1) [2.3], [1], [-V3]の値を求めよ。
(2) 関数y=2[x] (-3Sx52) のグラフをかけ。
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指針>問題文にも示されているが、一般に、 実数xに対して, xを超えない最大の整数 (x以下の
最大の整数)を[x] で表すことがあり、 この記号 [ ]をガウス記号という。
(1) 例えば、 [1.2]、 [-1.2] について, 数直線 を利用して考えてみよう。
151.2<2であるから、 右の図より、 1.2を超えない最大の整数
は1
つまり
また -25-1.2<-1であるから, 右の図より -1.2を超えない
最大の整数は -2
1.2
つまり [-1.2]=-2 ←-1ではない!
[2.3], [1], [-V3]についても同様に考える。
(2) ガウス記号の定義を式で表すと, 次のようになる。
nを整数とすると nSx<n+1ならば [x]%=n
-2
-1.2
*キャャ
「整数一
このことを利用して, -3<x<-2, -2Sx<-1,
「整数一
などと場合分け をする。
幅は1
幅は1
解答
(1) 2.3, 1, -v3 を数直線上に表
すと,右図のようになる。
4252.3<3, 1S1<2,
-2S-(3<-1
ー13
2.3
0
1
2
3
x
よって
[-3]=-2
日 (2) -3Sx<-2のとき y=2(-3)=-6
-2Sx<-1のとき y=2(-2)=-4
のとき y=2(1)=-2
のとき y=2-0=0
[1V3]=-1は 誤り !
各場合はいずれも
aSxくbの形であるから、
グラフの左端を含み、 右端
を含まない。
2ト
-1Sx<0
-3 -2
0Sx<1
0
1
2x
-2
のとき y=2·1=2
のとき y=2-2=4
よって,グラフは右図のようになる。
1Sx<2
x=2
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検討)ガウス記号 [x] の意味 (xは実数)
指針でも述べたように, ガウス記号[x] は nSx<n+1を満たす整数n と同じ意味である。 こ
こで,実数xに対し [x] を xの整数部分 という。 ただし, 整数部分といっても、 例えば
[-1.2]=-1ではなく、 [-1.2]=-2であることに注意。 また, x-[x] をxの小数部分という。
なお,定義から次のことも成り立つ。
[x+n]=[x]+n (nは整数)
