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212
1.
基本 例 129 2次方程式の解と数の大小 (2)
00000
| 2次方程式 ax-(a+1)x-a-3=0が,-1<x<0, 1 <x<2の範囲にそれぞれ
1つの実数解をもつように、定数αの値の範囲を定めよ。
指針 f(x) =ax²-(a+1)x-a-3 (α0) として
p.207 基本事項2 重要 13
[a<0]
[a>0]
y=f(x)
グラフをイメージすると, 問題の条件を満
たすには y=f(x) のグラフが右の図のよ
うになればよい。
+
0
1
すなわち f(-1) f (0) 異符号
L
2x
O
[f(-1)(0)01
かつ f(1) f (2) が異符号
[f(1)f(2) <0]
である。 αの連立不等式
を解く。
T
TO
0
ly=f(x)
2次方程式
128 129のように、2枚
豚の存在明の問題
このの存在範囲の問題につい
方式の実数解を
方程式(x)=0がわくと
gの範囲に共有
+
CHART 解の存在範囲 f(b)f(g) <0ならとの間に解(交点) あり
f(x)=ax²-(a+1)x-a-3とする。 ただし α≠0
f(-1)f(0) <0から
2次方程式であるから、
(x2 の係数) ≠0 に注意
注意 指針のグラフから
かるように,a>0
の問題は、題 126,
一方程
方程式(x)
の範囲に実
●グラフが指定され
2次関数のグラフ
[1]
判別式 D
この3つの条件に
放物線y=f
であるとき,
件となる。
題意を満たすための条件は,放物線y=f(x) が-1<x<0,
解答
1 <x<2の範囲でそれぞれx軸と1点で交わることである。
すなわち f(-1)(0) <0 かつ f(1)(2)<0
ここで
f(-1)=a(-1)-(a+1) (−1)-a-3=a-2, が下に凸),a< 0 (グラ
f(0)=-a-3,
f(1)=α・12-(a+1) ・1-a-3=-a-4,
が上に凸) いずれの場合
f(-1)f(0) <0かつ
[1]判別
f(2)=α・22-(a+1)・2-a-3=a-5
(a-2)(-a-3)<0
ゆえに
(a+3)(a-2)>0
よって a<-3, 2<a
また,f(1)(2)< 0 から
......
①
ゆえに
(-a-4)(a-5)<0
(a+4)(a-5)>0
よって a<-4,5<a
......
① ② の共通範囲を求めて
a<-4,5<a
これは α=0を満たす。
f(1)f(2)<0
が、題意を満たす条件で
る。 よって, α>0のとき
α < 0 のとき などと場合
けをして進める必要はな
を意味す
●グラ
上の
p
する
[2] 軸の
[3]
[1] [2]
-4-3
2
5
