48 第2章 複素数と方程式
練習問題 6
(1)3+2i32i を解にもつ2次方程式を1つ作れ.
(2) 2次方程式 x^2+3x+5=0 の2つの解をα, β とする. α+1, B+
を解とする2次方程式を1つ求めよ.
精講
「2次方程式が与えられたとき, その2つの解を求める」という
「がふつうの流れですが、逆に「2つの解が与えられたとき,それ
解にもつ2次方程式を作る」ということを考えてみます.それは全く難しく
りませんα,βを解にもつ2次方程式 (の1つ) は (x-a)(x-B)=0です
ら,それを展開して
x²-(a+β)x+aß=0
となります。要するに,2つの解の和と積をとれば, 求める2次方程式は
(和)x+(積) = 0
の形で書けることになります。
解答
1)2つの解の和と積を計算すると,
和: (3+2i) + (3-2i)=6
積: (3+2i) (3-2i)=9-4iz=13
なので、求める2次方程式(の1つ)は
x²-6x+13=0
コメント
を展開しても同じ結果が得られます. また, 両辺を定数倍しても解は変わらな
ふつうに{x-(3+2i)}{x-(3-2i)}=0 という2次方程式を作って、左
いので, 2.2-12x+26=0 や -x2+6-13 =0 などを答えにしても正解です
ルチ
(2)解と係数の関係より
a+β=-3,aβ=5
ここで,α+1,β+1 の和と積を求めると
ようと
α,βを具体的に
和: (a+1)+(3+1)=α+β+2=-1
求める必要はない
したがって, α+1, β+1 を解にもつような2次方程式の1つ)は
積: (a+1) (B+1)=αβ+α+β+1=5-3+1=3
(-1)x+3=0 すなわち x2+x+3 = 0
