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14 不等式の証明/拡張した形
(ア) (1) yが実数のとき,
2
(2) a, b, c が実数のとき,
x+y\2
であることを証明せよ.
であることを証明せよ。
a²+26² + c² = (a+b+c)².
(イ) (1) ||<1, y|<1のとき, zy+1>æ+yを証明しなさい。
(立命館大文系)
(2)また,(1)を用いて,|x|<1,|y|<1,|z|<1のとき,ry+2+y+zを証明しなさい。
(1)を活用する
(岐阜経済大)
(2) が (1) を拡張したような形の式を証明するときは (1) を利用して(2)を示
すことをまず考えよう. 本間 (ア)の場合,226262(イ)の場合, zyz(ry)zとして,(1)に結び
つける.
2+2btc
解答
4
2
(ア) (1) (左辺) (右辺)= = {2(x²+ y²)-(x+y)²)=(xy)²≥0
1/2++ 46+20)
となるから, 証明された.
(2) (1)の不等式を用いると,
b2+c2
(左辺)=
・+
2
2
2
1)= 1½ (a² + b² + b² + c² ) = {(a+b)² + (b+c)"}
(1)の不等式は,
02+02
0+2
2
2
ということ.
a+b b+c
+
なお, (2) は, 平方完成で直接
a+b
2
2
a+2b+c
I=
y=
2
4
2'
(1)を利用
(イ) (1) (左辺) - (右辺) =ry-x-y+1
=(x-1)(y-10 (x < 1, y<1だから)
示すこともできる。
16 { (左辺) (右辺)}
=4(α2+262+c2)-(a+2b+c)2
=3a2+462+3c2
--4ab-4bc-2ca
=462-4(a+c) b
b+cとして
2
となるから, 証明された.
+3a2-2ac+3c2
(2) w=xyとおくと, |x| <1,|y|<1により, |w|<1である。 よって,
=4(6-a+c)²+
+2(a-c)2≥O
2
(1)を用いると,wz+1>w+z :.xyz +1>xy+z
各辺に1を加え, yz+2> (xy+1)+z
右辺に (1) を使い, ryz+2>(xy+1)+z>(x+y+z
となるから, 証明された.
14 演習題 (解答はp.29)
(ア) p. 9. rをいずれも正数とする.
(1) XY-X-Y +1 を因数分解しなさい。
HENDER BIG
(2)2+2-22-1の大小を比較しなさい .
(3)2 +2 +2'320+9+r-1の大小を比較しなさい。
(イ) 次の(1),(2) を証明せよ.
(龍谷大文系)
(1)とき
I
y
1+x
1+y
(2) すべての実数a,bについて,
la+bl
1+a+b
|a|+|6|
1+|a|+|6|
(岐阜聖徳学園大)
(ア) (3)では、
2D+g+r=2(D+q)+ と見る。
(イ)一般に.
|a|+|0|≧|a+01
が成り立つ。
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