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重要 例題 99 2次方程式の共通解
2つの2次方程式 2x2+kx+4=0, x2+x+k=0がただ1つの共通の実数解をも
つように定数kの値を定め, その共通解を求めよ。
基本94
指針2つの方程式に共通 な解の問題であるから,一方の方程式の解を求めることができたら、
その解を他方に代入することによって、 定数の値を求めることができる。 しかし、例題の
方程式ではうまくいかない。 このような共通解の問題では,次の解法が一般的である。
2つの方程式の共通解を x=α とおいて,それぞれの方程式に代入すると
2a²+ka+4=0
①, a²+a+k=0
(2)
これをα, kについての連立方程式とみて解く。
!
② から導かれる k=-α²-α を①に代入 (kを消去) してもよいが, 3次方程式となって
数学Iの範囲では解けない。 この問題では、最高次の項である α² の項を消去することを
考える。 なお,共通の「実数解」 という問題の条件に注意。
CHART 方程式の共通解 共通解をx=α とおく
解答
共通解を x=αとおいて, 方程式にそれぞれ代入すると
2a²+ka+4=0
a²+a+k=0
2
①,
(k-2)a+4-2k=0
DRO
(k-2)(a-2)=0
k=2 または α=2
.**
......
1 ①②×2 から
ゆえに
よって
[1] k=2のとき
2つの方程式はともにx2+x+2=0 となり,この方程式の判
別式をDとすると
REBRA
D=12-4・1・2=-7
D<0であるから,この方程式は実数解をもたない。
ゆえに、2つの方程式は共通の実数解をもたない。
[2] α=2のとき
②から
22+2+k=0
よって
k=-6
このとき2つの方程式は2x2-6x+4=0, x2+x-6=0
すなわち 2(x-1)(x-2)=0, (x-2)(x+3)=0 となり,
解はそれぞれ x=1, 2; x=2, -3
よって、2つの方程式はただ1つの共通の実数解x=2をも
Q2 の項を消去。 この考え
方は, 連立1次方程式を加
減法で解くことに似ている。
[3]
数学Ⅰの範囲では,
x2+x+2=0の解を求める
ことはできない。
α=2を①に代入してもよ
つ。
以上から
k=-6, 共通解はx=2
注意 上の解答では,共通解 x=αをもつと仮定してαやんの値を求めているから 求め
た値に対して, 実際に共通解をもつか, または問題の条件を満たすかどうかを確認
しなければならない。
