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頻出
★☆☆
例題
142分数関数の不定積分
次の不定積分を求めよ。
(1)
12x²-x-2 dx (2)
(2) S
dx
(1)~(3) いずれも
f'(x)
f(x)
次数を下げる
の形ではない。
(x+1)(2x+1)
dx
頻
(3)√x²(x-1)
次数下げが、
わからん
(1) Re Action (分子の次数)≧(分母の次数)の分数式は、 除法で分子の次数を下げよ B 例題 17
(2), (3) 分母が積の形部分分数分解
1
a
b
x+1 2x+1
(2)
(x+1) (2x+1)
1
(3)
x²(x-1)
ax+6
x2
C
+.
a b
x-1
+ +
x
17
x² x-1
Action» 分数関数の積分は,分子の次数を下げ、部分分数分解せよ
2x²-x-2 dx = √(2x-3+x+1)dx
(1) S2
x+1
1
-1)、
61
(x+1)(2x+1)
はらうと
より
52x
=x 2-3.x +log|x+1+C
a
+
a, b, c の値を求める
4
分子を分母で割ると
2x-3, 余り 1
不定積分
b
とおいて, 分母を部分分数分解
x+1 2x+1
a(2x+1)+6(x+1)=1
(2a+b)x+α+6-1 = 0
係数を比較すると, α = -1,6=2より
(x
J+1+
dx
+1)(x+1)=(x+
2
dx
2x+1
= -log|x +1 + log|2x + 1 + C
(2a+b)x+α+6-1 = 0
はxについての恒等式で
あるから
2a+b=0
la+6-1=0
)より
sin 20
2
-dx
2x+1'
=
=10g |
2x+1
+C
x+1
| = 2.1/23log|2x +1|+C
2
1
a
b
C
61
(3)
+
+
x-1
うと
x²(x-1) x
ax(x-1)+6(x-1)+ cx2 = 1
(a+c)x2+(-a+b)x-6-1 = 0
係数を比較すると,α = -1,b=-1,c=1 より
xについての恒等式であ
るから
fa+c=0
とおいて、分母をはら
部分分数の分け方
意する。
dx
1
1
1
+
x2
x-1
1
問題141
-log|x| +
1
+log|
JC
■142 次の不定積分を求めよ。
(1) √
x2+3x-2
x-1
dx
x
+log|x -1|+C
x- +C
JC
(2) St
3x+4
d
-dx
(x+1)(x+2)
-a+b=0
l-b-1=0
dx
(3) √x(x + 1)²
p.281 問題 142
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