基本 124 三角形の重心を表す複素数
00000
等式ぇ=a+β+yが成り立つとき,日はABCの心であることを証明せよ
基本123 重要 125 12
単位円上の異なる3点A(a), B (B), C(y) と, この円上にない点H(z)について
ABCの重心が甘⇔AHBCBHCA
指針
例えば、 AHBC を次のように、 複素数を利用して示す。
Y-B
r-B
AHL BC
虚数
814
818
B + (7-8)=
=0
また, 3点A, B, Cは単位円上にあるから
[ 純虚数wキ かつ w+w=0 (p.504 参照) を利用している。
||=||=||=1⇔ad=BB=YY=1
これとz=a+β+yから得られる z-α = β+y を用いて, B, yだけの等式に直
て証明する。
8-1
CHART 垂直であることの証明 ABCD
が純虚数
B-a
3点A(a),B(B), C(y) は単位円上にあるから
解答
すなわち
よって
|a|=||=|x|=1
|a|=||=||=1
aa=βB=ry=1
α= 0, β= 0, y = 0 であるから
B(B)
A(α)
H(2)
C
Y
A, B, C, H はすべて異なる点であるから,
Y-B
¥0で
2-a
y—ß _y—ß ¸y-B (*)
(*) B=
<指針
B'
大
垂直であるとい
条件を、純虚数
-B
Y-B
+
+
2-
B+r
B+y
B+y B+y
Y-B
+
B+y
11
1|1|1|B
y-BB-y
いう複素数の条
更に等式
言い換えて示し
+
B+YY+B
なお, bi が
+
Y
ためには, b
ことに注意。
=0
Y-B
よって,
では純虚数である。
z-a
ゆえに
AHLBC
同様にして BHICA
上の式で α
したがって, Hは△ABCの垂心である。
y が αに入れ
練習 上の例題において, w=-aßy とおく。 wキαのとき,点D(w) は単位円
124 AD⊥BC であることを示せ。
