曲面のパラメータ表示 p:U→ R° (p e C®(U)を与え,座標曲面
S= 9(U) を考える.また,曲線c= c(s) :I→ U (ce C®(I)) を考え,
7(5):= (poc)(s) : I→Sを測地線とする.このとき次の問に答えよ。
(1) (s) の速度ベクトルの大きさ |会(s)|| は,
dy
= Const
for Vt E I
ds
を満たすことを示せ、ここで,const とは定数 (constant) の略記号のことで
ある。
注:したがって,パラメータ sは, yの弧長パラメータの定数倍となる。
(2) パラメータ変換s= {(t) (t e Ii) を行うと,曲線(t) := (E(t)) は,あ
る関数 p(t) e Co (ī) が存在して,
ds
(()) = p()() for tei
T
dy
dt
を満たすことを示せ、ここで(…)" は,(…)のS-接成分を表す。これを座
標曲面Sのパラメータ表示を用いた方程式で表すと,
dck
( (%3D 1,2) for teI
dPck
dc
dei
-(t) =D p(t).
dt?
dt
dt
dt
を満たすことと同値である.(式(1.1), (1.2) のどちらを示してもよい.)
注:測地線y=(s) は, 弧長パラメータの定数倍を用いて求められるが,上
記の(1)より,式(1.1) または式(1.2) を測地線の定義としてもよいことが分
かる。ただしこの場合,(t) のパラメータtは,もはや一般に弧長パラメー
タの定数倍としては与えられない.また式 (1.1) は,「測地線とは,座標曲面
S上の加速度が速度に各点で比例している曲線」とも解釈出来ることを表し
ている。
