B1-68
(86)
第1章 数
列
例 B1.41 隣接3項間の漸化式(1)
考え方
次のように定義される数列{an} の一般項 am を求めよ。
(1) a=1, a2=2, an 2-2an+1-150=0
(2) a1=3, a2=5, an+2-30m+1+2a=0
(A) 特性方程式の解α, β が α β となる場合 (p. B1-67) である.
(1) An+2-2+1-150=0.･･･ ① が ax +2aaμ+1=βan+1 aan) .....②
たとする.
②より,
an+2-(a+β)an++αβam= 0
|a=5
[α = -3
これより,
α+β=2, aβ=-15 だから,
lβ=5
または
\B=-3
よって、②より
解答
とも
Jax+2+3am+1=5 (an+1+3a)
lan+2-5an+1=-3(an+1-5am)
これより,一般項 α を求めればよい.
(2)(A) aβにおいて,とくに α=1 となる特別な場合である。
つまり, an+2-3a+1+2a=0 は,
an+2-An+1=B(An+1-an)
となり, 数列{ant-am} は {an} の階差数列である。
mi
(1)と同様に解くこともできるが,ここでは階差数列の
考え方を使って解いてみよう.
~20x150=0
(1) authen
より
となる.
......①
an+2+3an+1=5 (an+1+3an)
lan+2-50+1=-3 (a+1-5a)
②より, 数列 {am+1+3am} は,
③
{a} の階
{anta
① より,-2F
wwww
(x+3)(x-5)=
よって, x=-1
α=-3,β=5
α=5,β=-3
{an+1+3a
初項 a2+3a1=2+3・1=5
公比 5
の等比数列であるから,
an+1+3a=5・5"'=5"
…④
a2+3a」(n=10)
③より, 数列 {an+1-5am} は,
初項 a2-5a=2-5・1=-3
公比3
の等比数列であるから,
a,+1-5a= (-3)(-3)"'=(-3)"...... ⑤
④ ⑤ より
3a-(-5am)=5"-(-3)"
8a=5"-(-3)"
④ ⑤から
去する.
よって、 求める一般項 α は,
_5"-(-3)"
an=
8
