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基本例題 126 2次方程式の解と数の大小 (2)
00000
2次方程式 ax^²-(a+1)x-a-3=0が-1<x<0, 1<x<2の範囲でそれぞれ1
つの実数解をもつように,定数aの値の範囲を定めよ。
会
p.191 基本事項① 重要 127
指針f(x)=ax²-(a+1)x-a-3(a≠0) としてグラ
フをイメージすると, 問題の条件を満たすには
y=f(x)のグラフが右の図のようになればよい。
すなわち f(-1) f(0) が異符号
[f(-1)(0)<0]
かつf(1) f (2) が異符号
解答
f(1)=a･12-(a+1)・1-a-3=-α-4,
f(2)=a･22-(a+1)・2-a-3=a-5
f(-1)f(0) < 0 から
(a-2)(-a-3)<0
(a+3)(a−2)>0
ゆえに
よって
また, f(1)f(2)<0から
a<-3, 2<a
(-a-4) (a-5) <0
(a+4) (a-5)>0
[f(1)f(2)<0]
である。αの連立不等式を解く。
smetalle
CHART 解の存在範囲 f(pf(g) < 0 ならgの間に解 (交点) あり
ゆえに
よって
① ② の共通範囲を求めて
a<-4,5<a
[a>0]
f(x)=ax²-(a+1)x-a-3 とする。 ただし, a≠0 (笑) | 2次方程式であるから、
題意を満たすための条件は, 放物線y=f(x) が-1<x<0,
(x2の係数) 0 に注意。
1<x<2の範囲でそれぞれx軸と1点で交わることである。
すなわち f(-1)f(0)<0 かつ f(1)f(2)<0
ここで
f(-1)= a (-1)²-(a+1)•(-1)-a-3=a-2,
f(0)=-a-3,
①
a<-4,5<a ...... ②②
これはα≠0 を満たす。
y=f(x)
+ 20 1 10
-1
2x
e
[a<0]
20
0
y=f(x)
+
[注意] 指針のグラフからわか
るように, a>0 (グラフが下
に凸), a<0 (グラフが上に
凸) いずれの場合も
f(-1)f(0) < 0 かつ
f(1)(2)<0
が,題意を満たす条件である。
よって, a>0のとき, a<0
のときなどと場合分けをし
て進める必要はない。
