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C1-40
(226)
第3章 平面上の
Think
題 C1.22 ベクトルと軌跡
平面上に△ABC があり, 実数kに対し、
12p=46+5c-kc-b)
3PA +4PB+5PC=kBC
を満たして動く点Pがある。このとき,次の問いに答えよ.
(1) kがすべての実数値をとって変化するとき, 点Pの描く図形を図示
せよ.
(2)△PAB, △PBCの面積をそれぞれ, S, S2 とするとき
S:S2=1:2 となるようなkの値を求めよ.
考え方 (1) 点Aを基点として,AB=AC=CAP= とおいて与式に代入し、
の形に変形するは,を通りに平行な直線)
解答
wwwwwwwww
(2) △ABCの面積をSとし,まずは S, S2 をそれぞれSで表す。
(1)点Aを基点とし,AB=1, AC=C, AP= とおく.
3PA+4PB+5PC=kBC より
3(-)+4(-)+5c-p)=k(c-b)
AP: AQ=3:4 ...... ② より
4
41
38'
3 ベクトルと図形
(227)
C1-41
****
であるから,S:S2=12 のとき,
ST -S
80
△ABQの面積を S3 とすると,
もう片方を特定
したがって, BQBC=1:6 ...... ③
次に, ①を変形すると,
△ABC: △ABQ
=BC: BQ
0
んを含まない部分
12
46+5cc-6)
......1
(動かない) と, kを含
12
む部分(動く)に分け
49
3.46+52 (-b)
る.
-5-(-6)=5¬BC
9
12
9
10
A
AP=
(4+k)+(5-k)c
12
であり,②より
ATH
0
AQ=1/AP=12(4+k)+(5-k)c
3
(4+k)b+(5-k)c
よって,
交点の付
9
BQ=AQ-AB
12
(4+k)b+(5-k)c
一言
上の点である.
9
より,Qは直線 BC
点PがABCの内部
の場合と外部の場合が
ある.
45246
第3章
4+k
5-k_9
1
9
9 9
RA
12
3-4
A
線分 BC を 54 に内分する点を D, 線分AD を
だからBQBC-156k1
ORO
9
3:1 に内分する点をEとすると,
wwwwwwwww
A
ADBC-AEBC
002+111.015-k=1
6
GO+AO-1 FP
G
wwww
よって,点Pは点E を通り辺BC に平行な直線上
にある.
RIA
3
5-k=±
Q
E
6
+
P 11
その直線と辺 AB, AC の交点を F, Gとすると,
AF: FB=AG: GCA
B 5-D--4-C
よって、 k = 1/12 1/27
7 13
2'
=AE ED
=3:1
であるから,点Pの描く図形
は、 右の図の直線 FG である.
F
P
B
PF
G
Q1B
C
kがすべての実数値を
とるので,直線 FG と
なる.
注》頂点Bを基点とし、BA=BC=BP=_ とすると
3PA+4PB+5PC-kBC 1, 3(a-p)+4(-p)+5(c-p)=kc
となる.
5-k
P
この式を整理すると,
12
よって、点Pは,辺AB を 3:1に内分する点 F を通り直線 BC
に平行な直線上を動く.
B
C
練習
01.22
ABCがあり実数kに対して、点PがPA+2P+3PC=kAB を満たすも
B1
B2
ADDを求めよ
C1
(2)直線APと直線BCの交点をQ とすると,
FG/BC より AQ:PQ=AB:FB=4:1
したがって,△ABCの面積をSとすると,点Pが
どこにあっても,△PBC の面積 2 は一定で,
S= s
