#171 関数 y= sin0-34'sin0+3の最大値が4であるように,
定数 αの値を定めよ。 ただし, a≧0 とする。
をとる。
171 y=sin'0-3a'sin 0 +3 におい sind=t
とすると
y=t3-3a2t+3
また
-1≤t≤1
DS
f(t) = t_3a2t+3−1t≦1) とすると,
-1<t<1において
f'(t) =3t2_3a2=3(t+a)(t-a)
[1] a=0のとき
f'(t)=3t2≥0
03
f(t)は常に増加するから,f(t) t=1で最大
値をとる。
f(1) =4であるから,条件を満たす。
()
[2] 0<a<1のとき
(1
f(t) = 0 とすると
t=-a, a
f(t) の増減表は次のようになる。
LOA
t
−1
-a
-
f'(t)
+
0
f(t) 3a2+2
7
極大
a
1
0
+
極小
4-3a2
(1++)
C801
f(-a)=-α+3a3+3=2a3+3
f(1) =4-3a<4
よって, t=-aで最大値4をとるとすると
2a3+3=4
これを解くと
1
a=
3/2
大
これは 0<a<1を満たす。
[3]1≦aのとき
-1<t<1において
f'(t) <0
#18=(1)
f(f) は常に減少するから,f(t)はt=-1で最
大値をとる。 =
≧1 より f(-1)=3a2+2>4 であるから不
適である。
[1][2][3]より,求めるαの値は a=0,
3/2
