-
![]()
2強
不等式の利用(2ム
例題71
K1. 16| <1, Icl <1 のとき, 次の不等式が成り立つことを証明せよ。
(1) a+b<ab+1
(2) a+b+c< abc+2
すない。
+b+c<く abc +2 は、(1)の a+b<ab+1 とよく似ている。
小率的
前問の結果の利用
(1)の利用
(左辺)= a+b+c< ab+1+c
率的
IL積をつくりたいコ
ab+c+1< ロ+1= abc+2=(右辺)
Action》 複雑な不等式の証明は,既知の不等式を利用せよ
(1)(右辺)-(左辺) = (ab+1) - (a+b)
= (b-1)a-(b-1)
= (a-1)(b-1)
三
la|<1, |6| <1 であるから
(a-1)(6-1)>0
ab+1-(a+b)>0
a-1<0, b-1<0
Aよって
すなわち
A<0, B<0 のとき
AB>0
したがって
ab+1>a+b
(2)(1)より a+6<ab+1 であるから
(左辺)= (a+b)+c<(ab+1)+c=ab+c+1…①
ここで,|al<1,161<1より
また,|c| <1 であるから
()に(1)を利用。
lab|<1
4ab を(1)の a, cを(1)の
bとみて不等式を利用
するために,ab|<1,
Ic|<1 を確認する。
ab+c<ab·c+1= abc+1
…2
0, 2より の
ような(左辺)<(ab+c)+1<(abc+1)+1=abc+2
0
したがって
a+b+c<abc+2
(別解)
(右辺)-(左辺) = (abc+2)-(a+b+c)
=(ab-1)c-(a+b)+2
(ab-1)c= (ab+1)+2
= (ab-1)c-(ab-1)
= (ab-1)(c-1)
1つの文字に着目
cについて整理する。
( )に(1)を利用。
ここで,Ja|<1, |6| <1 より,lab| <1 であるから
ab-1<0
また,Icl <1 より
c-1<0
よって
(ab-1)(c-1)>0
会
ゆえに
(abc +2) - (a+6+c)>0
したがって
a+b+c<abc+2
次の不等式を証明せよ。また,等号が成り立つのはどのようなときか。
(1) la+b| S lal+|6|
(2) |a+6+c| <lal+16|+lc|
125
→ p.127 問題71
1|5式と証明
思考のプロセス|
