m＋nが偶数の時mーnも偶数になる理由って書かなくていいんですか？偶奇の一致よりとかですか？

重要例題)199 文字を含む三角関数の定積分 88 OO 次のことを証明せよ。 ただし, m, n は自然数とする。 (m+n が偶数) 0 S'sin mx COS nx dx= 2m (m+n が奇数) m?-n? 基本1% MOエTOO CHARTOSOLUTION 三角関数の積分 次数を下げて, 1次の形にする 積→和の公式から (sin(m+n)x+sin(m-n)x} sin mx co0S nX=- m, n は自然数であるから そこで,まずは m-nキ0 の場合と m-n=0 の場合に分ける。 .. m+nキ0 解答 *π T= Sin mx cosnxdx とする。 sin mx coS nx= {sin(m+n)x+sin(m-n)x} 『[1] m-nキ0 すなわち mキn のとき 1「cos(m+n)x」 cos(m-n)x] 2 T=ー m+n m-n Jo 1Jcos (m+n)π , Cos(m-n)π 2m m-n | Cos {(奇数)·元)=-1 1一2 cos {(偶数)元}=1 ニー 2 m+n m-n m+n が偶数のとき, m- も偶数で nial1/1 I=-- * m+n が偶数 →m, nはともに偶数 またはともに奇数 1 2m m?-nノ=0 m+n が奇数のとき, m-n も奇数で 2(m+n m-n →m-n が偶数 m+n が奇数 1 2m m-nノー m-n 1 1-mtn 2m →mとnの一方が開数 でもう一方が奇数 2 m-n 『[2] m-n=0 すなわち m=n のとき →m-n が奇数 1-in2nxda-|-S Cos 2nx ]r =0 lo sin2nx dx= このようなとき、 4n 「m+nとm-nの信 このとき, m+n は偶数である。 以上により, m+n が偶数のとき 奇は一致する。」 I=0 という。 m+n が奇数のとき 2me0 I= 2 2 m'-n? 000

depend onとdepends on の違いはなんですか？？

GIVE me a TIO time to think. 13 環境問題の解決は私たちの行動次第です。 Solution of environmental problems depends on our actions. 口9 私はちょうど音楽家になるにとを決心したところです。

写真のオレンジで囲んである式の出し方が分からないです。 途中経過や公式があったら教えて欲しいです！

(2) とCで囲まれた部分の面積の最小値とそのときの m の値を求めよ。 (1) eとCが異なる2つの共有点をもつことを示し, 共有点のx座標をα, B ICEを収録し,解答スペー 327 本例題2T9 面積の最大·最小(1) のO 基本210 CHARTO 放物線と面積(x-α)(x-B)dx=-(B-a)を活用 SOLUTION 1 6 面積は(mの2次式)となるから,まず(mの2次式)の最小値を求める。 解答 (1) 直線2の方程式は x=m(x-2)+6 すなわち x-mx+2(m-3)=0 の判別式をDとすると ソ=m(x-2)+6 の *方程式0の実数解があ れば,それはlとCの 共有点のx座標となる。 D=(-m)?-4·2(m-3)=(m-4)*+8>0 よって, lとCは異なる2つの共有点をもつ。 a, B (α<B) は, 2次方程式①の解であるから m+VD_MーVD 2 8-α=- -=VD=/m°-8m+24 la, Bの値は解の公式か ら求める。また (2) とCで囲まれた部分の面積を Sとすると,右の図から D=m°-8m+24 6 CB S=(m(x-2)+6-x}dx inf. B-aの計算 解と係数の関係を用いても S CB e よい。 --ーmx+2(m-3)}dx a, Bは①の2つの解であ 0 28 x るから α+B=m, =(-)(x-8)dx a aB=2(m-3) よって (B-a)°=(α+B)°ー4aB =m°-4-2(m-3) =m°-8m+24 B-a>0 であるから B-a=\m'-8m+24 8/2 3 a) 7章 三 S=(m-8m+24) - (m-4"+8 (/m-8m+24) =ー(m-4)°+8}z (1)から 25 (m-4)?+8 は m=4 で最小値8をとるから, Sは, m=4 8/2 三 で最小値 をとる。 6 3 ミニーーーーー-ーー

例題48)赤線の所が分かりません。式の形的に反復試行の確率を使っているのかなと思うのですが、 　　　　なぜこのような式になるのかが分かりません、、。教えてください🙇‍♀️

305 重要例題 48 平面上の点の移動と反復試行 右の図のように,東西に4本, 南北に4本の道路が て地点Bへ向かう。 このとき, 途中で地点Pを通る 確率を求めよ。ただし, 各交差点で, 東に行くか, B 北 4 P 北に行くかは等確率とし, 一方しか行けないときは 確率1でその方向に行くものとする。 A 基本 27,46 2章 CHARTOSOLUTION 5 最短経路 道順によって確率が異なる A→P→Bの経路の総数 A→Bの経路の総数 これは,どの最短の道順も同様に確からしい場合の確率で, 本間は 道順によって確率が異なる。 例えば, 求める確率を AC。×1 から, 6C。 とするのは 誤り! B 後 目に A1→→→P1↑Bの確率は でい1= 1.111 ·1· 2 2 2 2 16 A→→→1P1↑Bの確率は 1.11 2 2 2 1 ·1·1·1 A よって, Pを通る道順を, 通る点で分けて確率を計算する。 一。 解答 右の図のように,地点 C, C', P'をと る。Pを通る道順には次の2つの場合 があり,これらは互いに排反である。 道順A→C→C→P→Bの場合 この確率は B 合C→Pは1通りの道順 であることに注意。 [1] →→→↑↑↑と進む。 [2] ○○○→1↑と進む。 ○には→2個と↑ 1個 が入る。 P' P C 11x1-。 A C xly1 22 12/道順A→P-→P→Bの場合 -x1×1× この確率は 3 -×1×1= 16 よって,求める確率は 1 3 8 5 *確率の加法定理。 16 16 独立な試行·反復試行の確率 JP

この問題の①が全然分かりません！ 細かく教えてください🙇🏼‍♀️

OOOO0 「辺の長さがaである正四面体 ABCD がある。 (1) この正四面体の高さをaの式で表せ。 (2) この正四面体の体積をaの式で表せ。 基本例題1.35 正四面体の高さと体積 基本134 CHARTOSOLUTION 空間図形の問題 平面図形(三角形)を取り出す (1) まず,高さを辺にもつ三角形に着目→頂点Aから底面△BCD に垂線 Arr の半径)はABCD における正弦定理から。 (2)(四面体の体積)=× (底面積)×(高さ) 解答 (1) AABH, △ACH, AADH は,斜辺の長さ がaの直角三角形で AH A (1) 正四面体の頂点Aから底面ABCD に垂線 AH を下ろすと 0 0 は共通辺である。 直角三角形において, 斜 辺と他の1辺が等しいな らば互いに合同である。 AABH=△ACH=△ADH よって BH=CH=DH D B ゆえに,点HはABCD の外接円の中 心で,外接円の半径は BH である。 よって,ABCD において, 正弦定理 H C により でるさケ 0< O CD a a BH= =2R 2 sin60° V3 sin ZDBC したがって CD=a, ZDBC=60° ATー A *AABH に三平方の定理 2 a AH=VAB?-BH° = a v3 を適用。 4。 /2 V6 a 先公のくロへ 3 a 3 (2) ABCD の面積は 3 B H a *aasin60°= -a? V3 三 4 ABCD の面積 よって,正四面体 ABCD の体積は Tew -BD·BCsin ZDBC .ABCD·AH== 3 1 .V3 e.16 2 3 4 3 aミ -a 3 12 三 く白

カッコ2番の星を書いているところはなぜ分母に6条と分子に三乗をするのですか？

は7ゲーム目までにAが4勝する確率であり, 例えば, Aが4連勝した。 7ゲーム目で優勝が決まるから, 6ゲーム目までにAが3勝し、7ゲーム目に 勝つ確率はであるとする。 A, Bがゲームをし, 先に4ゲームを働った。 で3連敗する場合も含まれている(この場合は4ゲーム目で優勝が決まる)。 PRACTICE …47® A, Bの2人があるゲームを繰り返し行う。1回のゲームでAが (2) 一方の勝った回数が他方の勝った回数より2回多くなった時点で勝った回数の 304 基本 例題 47 対戦ゲームの優勝確率 BチームがAチーム 48 平 2 重要例題 右の図のように, 東日 ある。地点Aから出 て地点Bへ向かう。 確率を求めよ。たた 北に行くかは等確速 確率1でその方向! 3' あるゲームでAチームがBチームに勝つ確率は 3 (1) 4ゲーム目で優勝チームが決まる確率を求めよ。 (2) 7ゲーム目で優勝チームが決まる確率を求めよ。 ームを優勝とする。 b.298 基本事項3。 CHARTOSOLUTION n回目で決着一 (n-1)回目までに着目 ....。 (2) Aが4勝3敗で優勝する確率を ,C (1-)としては ie.. CHARTOSOL 最短経路 道 求める確率を これは, どの 本間は 道順に Aが勝つ確率を求めなければならない。Bが優勝する場合も同様 Af→→→ F A→→→1E 解答 よって, P (1) 4ゲーム目で優勝チームが決まるのは, AチームまたはB 水チームが4連勝する場合であり, これらは互いに排反である。 A, Bのどちらが残。 てもよい。 1 17 解答 よって, 求める確率は () +()- 合確率の加法定理。 右の図のように、 る。Pを通る道順 3 81 (2) [1] 7ゲーム目でAチームが優勝する場合 6ゲーム目までにAチームが3勝し,7ゲーム目にAチー ムが勝つときであるから, その確率は があり,これらに [1] 道順A-→ この確率は 40 36 [2] 7ゲーム目でBチームが優勝する場合 合.Cが(1-) ケち 3 3 [2] 道順A [1]と同様にして 6Cg 20、2° 全6ゲーム目までにBが 勝し、7ゲーム目にB 3 36 この確率は [1], [2] は互いに排反であるから,求める確率は 勝つ場合。 40、2°」20、2° -X 2° -=20×36 よって,求め 160 3 36 + 3° *確率の加法定理。 3 729 したがって PRACTICE … 右の図の。 2 BがAに勝つ確率 3 ん 争は3であるとする。 に勝つ確率は一 点Aから このとき 差点で、 けないと

一次不定方程式です！ 解き方を教えてくれると嬉しいです！

次の等式を満たす整数x,yの組を1つ求めよ。 121 1次不定方程式の整数解(1) 本例題 425 OOOのの (1) 11x+19y=1 (2) 11x+19y=5 423 基本事項3 基本122 CHART OSOLUTION 1次不定方程式の整数解 ユークリッドの互除法の利用 11と19 は互いに素である。。まず, 等式 11x+19y=1 のxの係数11とyの 係数19に互除法の計算を行う。その際, 11<19 であるから, 11 を割る数, 19 を割られる数として割り算の等式を作る。 a=11, b=19 とおいて, 別解のように求めてもよい。 (2) xの係数とyの係数が(1)の等式と等しいから, (1)を利用できる。 (1)の等式の両辺を5倍すると よって,(1)で求めた解をx=p, y=q とすると, x=5p, y=5q が (2) の解に 11(5x)+19(5y)=5 なる。 解答 移項すると 移項すると 移項すると 移項すると 1=3-2-1=3-(8-3-2)-1 =8-(-1)+3-3=8-(-1)+(11-8-1)-3 8=x =11-3+8-(-4)=11·3+(19-11·1).(-4) =11·7+19·(一4) (0) 19=11·1+8 11=8·1+3 8=19-11·1 3=11-8-1 2=8-3-2 別解(1) a=11, b=19 パーとする。 8=19-11-1=6-a 3=11-8-1 8=3-2+2 3=2·1+1 1=3-2-1 -aー(b-a)=2aーb |2-8-3-2 ー(b-a)-(2a-b)-2 よって =-5a+36 1=3-2-1 =(2a-b)-(-5a+36)-1 すなわち 1.7+19-(-4)=1 …0 ゆえに、求める整数x, yの組の1つは -7a-46 すなわち 11-7+19-(-4)=1) よって,求める整数x,yの 組の1つは x=7, y=-4 x=7, y=-4 (2) 0の両辺に5を掛けると 11-(7-5)+19-{(-4).5}=5 11-35+19-(-20)35 よって,求める整数x, yの組の1つは *=35, y=-20 すなわち る。このような解が最初に発見できるなら, それを答と してもよい。

分母の意味がわかりません！ 30番の全ての問題の解説をお願いします🥺

重要例題31 同じものを言 (3) 右端が白色カードで, 赤色カードが隣り合わず, かつ, どの赤色カー ードは区別できないものとして, この8枚のカードを左から1列に並べると 白色カードが5枚, 赤色カードが2枚, 黒色カードが1枚ある。同じ色の方 278 例題)30 同じものを含む順列の応用 1 ガラスでできた玉で, 赤色のま き,次のような並べ方は, それぞれ何通りあるか。 (1) 赤色カードが隣り合う (2) 両端のカードの色が異なる これらを1列に並べる方 これらを丸く円形に並~ これらの玉に糸を通し p.266 基本事項 も黒色カードと隣り合わない CHARTOSOLUTION CHARTO (2) 回転したとき他のF (3) じゅず順列の総数 OLUTIO (1) 隣り合う一 1つのものとみる (枠に入れる)。 白|白||白||白|赤赤|黒||白 「左右対称 (2)(Aでない)3 (全体)- (Aである)の活用。 すなわち (両端が異なる色)=(すべての並べ方) (両端が同じ色) (3) 隣り合わない 一後から間や両端に入れる 回赤回素直自 回回 解答 左の解答において, 同じ のを含む順列の数の求め) は,p.273 の CHART & SOLUTION の2の放 を使った。1の方式なら 7! *(1) 2枚の赤色カードを1枚とみなして =42(通り) 5! (1) 1列に並べる方法に (2) 透明な玉1個を固 を並べると考えて 8! 6!2! 8! (2) 8枚のカードの並べ方は, 全部で -=168 (通り) 5!2! 両端のカードが同じ色になる場合の数を求めると [1] 両端が白色のとき 白色カード3枚,赤色カード2枚, 8-7 2-1 (2)(全体)=CrC。 (両端が白)=Cr。 (両端が赤)=C。 (3) Ca':C2 となる。 (3) (2) の 28通りの ように左右対称に 4通り 6! 黒色カード1枚を並べる方法の数で -=60 (通り) 3!2! [2] 両端が赤色のとき白色カード5枚, 黒色カード1枚 6!-6(通り) 5! よって,左右対科 28-4=24 を並べる方法の数で [1], [2] から,求める場合の数は この24通りの 168-(60+6)=102 (通り) 返すと一致する ずつあるから, 口(3) 白色カードを5枚並べ,その間と左端の5個の場所から3 個の場所を選んで赤色カード2枚と黒色カード1枚を並べれ 合 5個の場所から3個の 所を選ぶ一C通り 赤2枚,黒1枚を並べ 24 4+ 2 ばよいから,求める場合の数は 3! sCg =30(通り) 3! 通り 2! PRACTICE… PRACTICE…30° NAGOYAJO の8個の文字をすべて並べてできる順列の中で, AA と 00という びをともに含む順列は 個あり,同じ文字が隣り合わない順列は仁」能の 【名城が 白玉が4個 通り 輪を作る

2番の解説を丁寧にお願いします 一本おきのなどの意味から理解できません！🙇‍♀️

基本例題 23 と同様に, 図形(長方形, 正方形)の決まり方に注目する。 よって,縦2本の直線の選び方が m通り, 横2本の直線の選び方がn通りならは (1=0, 1, 2, 3, 4)が交わってできる長方形 (正方形を含む)は全部で口 座標平面において,7本の直線x=k(k=0, 1, 2, ……, 6) と5本の直線」y=l 基本 例題25 四角形の個数と組合せ 右の図のように,5本の平行線と, それらに直交する 5本の平行線が,それぞれ両方とも同じ間隔a (a>0) で並んでいる。この10本の直線のうちの4本で囲ま れる図形について, 次の問いに答えよ。 (1) 長方形(正方形を含む)は全部で何個あるか。 (2) 正方形は全部で何個あるか。 272 基本例題 J, A, P, 次のような a 異なる Jは」 CHART 同じ CHARTOSOLUTION 四角形の個数と組合せ 正方形を含めて,長方形は縦の2辺と横の2辺で1つ決まる ここ 長方形の総数は, 積の法則 から m×n通り。 (2) 1辺の長さがa, 2a, 3a, 4a の4つの場合に分ける。 解答 解答 の(1) 4本で囲まれる長方形は, 縦,横2本ずつの直線の組合せ ※ でできるから, 求める個数は 8個 *C×C-(2-1) 5·4)? =10°=100(個) 日(2) 縦,横それぞれ5本の直線を用いてできる止方形は (2) 1辺の長さで場合れ [1] 隣り合う2本の直線で, 1辺の長さがaの正方形 [2] 1本おきの2本の直線で, 1 辺の長さが2aの正方形 1」 縦の隣り合う2本 [3] 2本おきの2本の直線で, 1辺の長さが3aの正方形 [4] 3本おきの2本の直線で, 1辺の長さが 4aの正方形 ゆえに,それぞれの正方形の個数は [1]の場合 4×4=16(個) [3]の場合 2×2=4 (個) よって,求める正方形の個数は 別解 8 残り6 けて考える。 残り 直線と,横の隣り合う 本の直線でできる正城。 よって (2) 求 Xで [2]の場合 3×3=9(個) 14]の場合 1×1=1 (個) O Sを よっ 16+9+4+1=30 (個) S 一和の法則。 PRACTICE…2 B そのうち面積が4であるものはイ PR in 個ある。

急いでいます🙇‍♀️ 17の2番は カッコ6-1！ではないのですか？ 🔼とかいてあるところの横の解説です また、問題12との違いがわかりません

特定のものを固定して他のものの配列を考える…1g 3人の男子:松男, 竹男, 梅男と, 3人の女子: 雪美, 月美, 花美の計6人全員が手 (2) 隣り合う A, Bを1つのものとみて (枠に入れる), C, D, E, Fとの円顧例 6人の生徒A, B, C, D, E, F が丸いテーブルに着く。このとき、次のよ の 260 基本例題17 円順列 基本例題 うな並び方は何通りあるか。 (1) 6人の生徒の並び方 (2) A, Bが隣り合う並び方 (3) A, Bが隣り合わない並び方 (4) A, Bが向かい合う並び方 か。た。 7人 しない b.254 基本事項2 には少 CHARTOSOLUTION CHART 重複 異なるn個の円順列 (n-1)! 3 11 を考える。次に,枠の中での A, Bの並び方を考える。 (4) 向かい合う A, Bを固定して考える。 解答 (1)(6-1)!=5!=120(通り) (2) A, Bをまとめて1組と考えて,この1組と残り4人の並 A び方は 次に, A, B2人の並び方は 合異なる6個の円順列。 DO 合 A, Bを下図のように持 に入れて考える。 (5-1)!通り 解答 2!通り よって, A, Bが隣り合う並び方は (1) 3桁 (5-1)!×2!=4!X2!=24×2=48(通り) (3) A, Bが隣り合わない並び方は 同様に 120-48=72(通り) 1桁の (4) AとBを固定して考 えると,残りの4か所 の並び方は生徒4人の 順列になる。 (1)から(2)を引く。 よって 別解 2 位の髪 TAとBを入れ替えても。 回転すると重なるから、 A, Bの並び方は考えな くてよい。 000 に よって 4!=24(通り) (2) 空C 入れ- 一方 PRACTICE …17° A, をつないで輪を作る。このとき、次のtán前 (1) 松里1 PRAC