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総合 次の問いに答えよ。 ただし, 0.3010 <logo2<0.3011 であることは用いてよい。
28 (1) 100 桁以下の自然数で, 2以外の素因数をもたないものの個数を求めよ。
(2) 100桁の自然数で, 2と5以外の素因数をもたないものの個数を求めよ。
(1) 2"<1010 を満たす0以上の整数nの個数を求める。
2"<10' の両辺の常用対数をとると
log102" <log1010100 すなわち nlog102 <100
[京都]
本冊数学II 例題 189
←k桁の自然数N
10-1≤N<10%
⇔k-1≦log10N <k
ゆえに n<
100
log102
①
0.3010 <log102 < 0.3011 から
100
0.3011
100
10g102
100
0.3010
0.3011 logio2 0.3010
100
0.3011
=332.1...,
100
0.3010
=332.2・・・ であるから,
100
←332.1 <
<332.3
log102
0≦x≦332 の範囲の整数n は不等式① を満たす。
その個数を求めると
332-0+1=333 (個)
(2) 100桁の自然数で,2と5以外の素因数をもたないものの個
数は, 10% ≤ 2"5" 10100
② を満たす 0 以上の整数 m, n
の組 (m, n) の個数である。
[1] m≧n のとき
n≧100 とすると, m≧100であるが,このとき,
252100.5100 となり, 25"<10100 を満たさない。
n=0, 1, 2, …………., 99
ゆえに
②の両辺を10" で割ると
1099-n≦2m-n<10100-n
←2510100 から, 101
桁以上。
③ を満たす (m, n) の組の個数は, (100-n) 桁の自然数で, ←(1)の結果を利用する
2以外の素因数をもたないものの個数を表している。
n=0, 1, 2,..., 99 であるから, ③を満たす (m, n) の組
の個数は,100 桁以下の自然数で, 2以外の素因数をもたない
ものの個数と同じである。
その個数は, (1) から 333個
[2] m≦nのとき
[1] と同様に考えて、②の両辺を10m で割ると
考察にもち込む。
ただし
1099-m≦5n-m10100-m
④
m=0, 1, 2,......, 99
④ を満たす (m, n) の組の個数は, 100 桁以下の自然数で, 5
以外の素因数をもたないものの個数, すなわち, 5'10100 を
満たす0以上の整数の個数と同じである。
5'101 の両辺の常用対数をとると 10g105′ <log1010100
ゆえに
よって
(1-10g102) <100
100
1-10g 10 2
(5)
0.3010 <log102 < 0.3011 であるから,
←m100 とすると,
n≧100 で,
2"5"≧21005100=10100
となり,不適。
102
←log105=10g10
=1-10g102
1-0.3011 <1-log102 <1-0.3010 より
