重要 例題 21 等式を満たす多項式の決定
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多項式f(x)はすべての実数xについてf(x+1)-f(x)=2x を満たし,f(0) = 1
であるという。このとき, f(x) を求めよ。
〔一橋大〕
基本15
指針 例えば,f(x)が2次式とわかっていれば,f(x)=ax2+bx+c とおいて進めることが
できるが,この問題ではf(x)が何次式か不明である。
→f(x)はn次式であるとして,f(x)=ax+bx-1+......(a≠0,n≧1) とおいて
進める。f(x+1)-f(x) の最高次の項はどうなるかを調べ, 右辺2.x と比較するこ
とで次数nと係数αを求める。
なお,f(x) = (定数) の場合は別に考えておく。
5
基本
解答
f(x)=1|この場合は,(*)に含ま
れないため、別に考えて
f(x) = c(cは定数) とすると, f (0)=1から
いる。
これはf(x+1)-f(x)=2x を満たさないから,不適。
よって, f(x)=ax+bx-1+(a0n≧1)(*) とす
ると
f(x+1)-f(x)
=a(x+1)"+6(x+1)"'+.....-(ax+bx"-1+…………)
=anxn-1+g(x)
ただし, g(x)は多項式で,次数はn-1より小さい。
f(x+1)-f(x)=2xはxについての恒等式であるから,最
高次の項を比較して
(x+1)"
=x+nCixn-1+nCzx-2+...
のうち,
a(x+1)"-ax” の最高次
の項は anx-1 で,残り
の項はn-2次以下とな
る。
n-1=1
... ①, an=2
①から
n=2
ゆえに、②から
a=1
c=1
このとき, f(x)=x2+bx+c と表される。
f(0)=1から
anx-1と2xの次数と
係数を比較。
またf(x+1)-f(x)=(x+1)2+6(x+1)+c-(x2+bx+c) c=1としてもよいが,
=2x+6+1
結果は同じ
よって
2x+b+1=2x
この等式はxについての恒等式であるから
b+1=0
係数比較法。
すなわち
b=-1
したがって
f(x)=x-x+1
POINT 次数が不明の多項式は,次と仮定して進めるのも有効
