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(2) のは,結論の方が式が立てやすいので, 対偶を証明するとラクである。
を有理数と仮定すると, /2 は既約分数(p. qは整数, pキ0) と表せる(とく
より p, qは自然数としてよい)。 このとき p, qは互いに素であるから、このこと
第1章 数と式,
問題させ、
第1章
数と式,集合と論理
3背理法 Lv.★★★★V の
第1回
解答は12ページ
考え方
2 は既約分数
p
は整数, pキ0)と表せる(と
を証明す
1 Lv.★★★
れ=1
2
を有理数と仮定すると,
9
= 3
次の問いに答えよ。
(1)a+6°+c° =1をみたす複素数a, 6, cに対して, x=a+b+cとおく。
このとき, ab+ bc+caをxの2次式で表せ。
2) a°+6°+c°=1, α+が+c°=0, abc = 3をすべてみたす複素数aん
cに対して, x=a+b+cとおく。このとき,xー3x の値を求めよ。
て矛盾を導こう。
よって、
対偶
Process
解答
(1) ① 12 が有理数であると仮定すると
V2= (ただし, pとqは互いに素な自然数)
(早稲田大)
「N2は有理
Y/0
2 Lv.★★★
解答は13ページ
p
と表せ
と表せる。両辺を2乗すると
にあてはまるものを,
x, yを実数とする。下の(1), (2 )の文中の
次の(ア),(イ), (ウ), (エ)の中から選べ。
2=
が
「分子は開散。
右辺に
→= 2が
右辺は偶数であるから, q° は偶数,すなわち, qgも偶数である。
よって、q=2q' (g'は自然数) とおけて
2p= (2g)°=→ が3D2q'°
がは偶数であるから, pも偶数である。すなわち, pもqも
偶数となり,pと qは互いに素であることに矛盾する。
したがって,仮定は誤りで, V2 は無理数である。 (証終)
2 aが有理数であると仮定すると
りuも
(ア)必要条件ではあるが,十分条件ではない。
(イ)十分条件ではあるが,必要条件ではない。
(ウ)必要条件であり,かつ, 十分条件である。
(エ)必要条件でも, 十分条件でもない。
本
よっ
「分母は偶数」
は
「分子と分はなわ
に矛盾
とに)
(1)x+y?<1は, -1<x<1であるための
(2) -1<x<1かつ-1<y<1は, +y°<1であるための
し
「aは有理数
(関西大図)
『=+(ただし、 sとtは互いに素な自然数)
3 Lv.★★★
20
と表せる。aは α+α+1=0をみたすから
いと
解答は14ページ
を背
(+)+キ+ ニ=ーts±) (複号同順)
背
1=0→
t
与式に代入
次の各設問に答えよ。
(1)0 V2 が無理数であることを証明せよ。
② 実数αがα+α+1=0をみたすとき, aが無理数であることを
証明せよ。
(2)0 nを自然数とするとき, n°が3の倍数ならば, nは3の倍数に
なることを証明せよ。
② ¥3が無理数であることを証明せよ。
国のせ
さ
すそ
理数
右辺は整数であるから, 左辺も整数でなければならず, s, tは
互いに素な自然数であるから、 t=1である。
よって、(*)より
00
土s°土s+1=0 → s(s°+1)3D1
sは自然数なので, sZ1, s"+1>1であるから(左辺)>1
となり、(右辺)= ±1に矛盾する。
(複号同順)
式を変形し、
したがって、仮定は誤りで、 αは無理数である。
(2) 0 対偶
(明治大)
(証終)
8
14
