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次の条件が
基本115
217
132 2つの2次関数の大小関係 (2)
演習 例題
000
f(x)=x²-2x+3, g(x)=-x2+6x+α²+α-9がある。 次の条件が成り立つよ
うな定数aの値の範囲を求めよ。
指針
0≦x≦4を満たすすべての実数x1, X2 に対して, f(x1) <g(x2) が成り立つ。
0≦x≦4 を満たすある実数x, x2 に対して,f(x)<g(x2)が成り立つ。
演習例題 131 との違いに注意。
すべての(ある)実数xに対して f(x)<g(x)
→f(x), g(x)に入るxは同じ値
→F(x)=f(x)-g(x)にまとめられる。
例題131 f(x) <g(x)
同じ値
すべての(ある)実数x1, x2 に対してf(x)g(x2)
例題 132 f(x) <g(x2)
異なる値
y=F(x)
+
→f(x), g(x)に入るxは異なっていてもよい
→F(x)=f(x)-g(x)にまとめられない。
X1,X2の値が異なっていても,f(x1)<g(x2) が成り立つのはどのようなときであるの
かを グラフをかいて考える。
(1) x=0|y=g(x)|
y=F(x)
(1)
すべての実数x1, x2 に対して f (x1) <g(x2)
X1, x2 をどのようにとってきたとしても,
最小
点(x1, f (x1)) は常に点(x2, g(x2)) の下側にある。
→ [f(x) の最大値] <[g(x) の最小値] が成り立つ。
最大
y=f(x) x=4
(2)
ある実数x1, x2 に対して f(x) <g(x2)
ある x1, x2 をうまくとると,
(2)\x=0|
y=f(x)
x=4
点(x1, f (x1)) が点(x2, g(x2)) の下側にある
ようにできる。
最小
→[f(x) の最小値]<[g(x) の最大値] が成り立つ。
最大
/y=g(x)
3章
2 2次関数の関連発展問題
解答
検討
xについて
成り立つ」と
■を満たす
なくとも1つ
f(x)=(x-1)^+2,
g(x)=-(x-3)'+α²+a
(1)0≦x≦4を満たすすべての実数x1, X2 に対して
f(x)<g(x2)が成り立つのは
0≦x≦4において,
| y=f(x)
13
T
1
最大
[f(x) の最大値] <[g(x)の最小値]
ということ
が成り立つときである。
2
1
0≦x≦4において
0
1
4
x
る。
が成り立
f(x) の最大値はf(4)=11,
g(x) の最小値はg(0)=α+α-9
11 <a²+a-9
y A
a²+a---
y=g(x)
a²+a-1---++
よって
a²+a-20>0
よって
(a+5)(a-4)>0
a<-5, 4<a
a²+a-9.
最小
0 34 i x
