赤で印を付けた所のan=にする方法が分かりません😭隣の※の所をみても分かりません💦

468 基本 36 an+= pa,+g”型の漸化式 解答 00000 =3a=20.3 によって定められる数列(大般項を求めよ。 用して考えてみよう。 指針 漸化式 α+1=pan+f(n) において,f(n)=g" の場合の解法の手順は 基本 34 基本42,45 ①f(n) に n が含まれないようにするため, 漸化式の両辺を Q+1で割る。 anti-.an1 gg” - f(n) = となり,nが含まれない。 [2]=b, とおくとbn+1= q →bm+1=@bn+の形に帰着。・・ n+1で割る CHART 漸化式 αn+1=pan+g" 両辺を g" an+1=2an+3+1 の両辺を 37+1で割ると =b とおくと 2 • an+12.an 3n+1 3 3n = bn+1= -bn+1dc=d. 2an 2 an +1 3n+1 33" の方針 an 3 3" (S+ d) Stad 2 これを変形すると bn+1-3= (bn-3)-d 3 a1 3 また b1-3=3 -3= --3=-2\ 3 2 よって, 数列{bm-3}は初項-2,公比 の等比数列で 2n-1 bn-3=-2(3) an=3"bn=3.3"-3・2・2n-1(*) 33.2" ゆえに an=3-2(3) n-1 an+1=pan+gなど 既習の漸化式に帰着 させる。 特性方程式 2 a=1/23a+1から α=3 2 よって J [別解] an+1=2an+3+1 の両辺を2"+1で割ると An+1 an 3 + 2n+1 (22) an 3 \n+1 a1 3 + 2" よって, n≧2のとき n=1/3\k+1 bn=b₁+ k=11 n-1/2 =b₁+ Σ k=1\ (2)()-1) 3 2 2 =30 3 ) = = 2¹ 2 2/10)+ ① 3-13() -3.0 ((+2 =3.31.2.5 2-1 31 an+1=pantq は、 辺を+1で割る方法 でも解決できるが, 差数列型の漸化式の 処理になるので,計算 は上の解答と比べや や面倒である。 n=1のとき 3(1/2)-3=12/27 b=1/2から、①はn=1のときも成り立つ。 したがって an=2"bn=3.3"-3.2"=3" + 1-3.2" ゲーム a

なんで(2n+1）=n²になるのですか？

列をなすとき, βが等比中項であるから B2=α2B .. B=a² ...... ① ( β ≠0) また, 等差数列をなすとき, 等差中項は αβ または α 2aß=α+B ......② 2a=aβ+B ③ (1 または ①,②より(α,B)=(-1/21/14) ①, ③より (α, β)= (-2, 4) 118 与えられた数列の一般項は, 1+3+5+ … + (2n-1)=n2 *** よって, 求める数列の和をSとすると, 71 S=k²= n(n+1)(2n+1) k=1 119 与えられた数列の一般項は, 1+(-3)+(-3)2+..+(-3)"-1 1-(-3)-1-(-3)")

なんで(2n+1）=n²になるのですか？

2 ント n k=1 n (2h+4) 2(n+2) n 1)(n+2) 展開しないで共通 数でくくるのがコ k = 1 n (n+1), k² = n(n+1)(2n+1), {12/2(+1) k=1 Σ k³ = { } n ( n + 1)}", k n 2c=nc k=1 (ただし, cはんに無関係 次の数列の一般項と第n項までの和を求めよ. 1, 1+3, 1 +3 +5, 1 +3 +5 +7,

この計算のやり方がわかりません2行目から3行目です

よって, 求める和をSとすれば n n n S=Σ 1½ k (k+1) = 1½ ( ± k² + k) = = k=1 2 k=1 k=1 1/21/m(n+1)(2n+1)+/n(n+1)} 1 S-1 12" (n+1)((2n+1)+3)=1/n(n+1) (n+2) 展開しないで共通 数でくくるのがコツ

(3)で(ⅰ)(ⅱ)が一致するのがどうしてかわからないです

不動数 a a1 a2 ① ① eeeeee12 a の (2 (3) ④ 3 1 2 ④ ① (2 4 3 3 1 4 2 ① 3 2 ④ 3 (2) 1 ④ ① 3 4 2 3 2 4 1 4 4 1 233 3 3 4 1 2 ③ 2 3 4 2 1 ③ ④ 4 1 2 3 22 1 4 3 4 1 (3 2 3 1 ④ 4 (2 1 3 2 3 4 1 4 ② (3 1 2 4 1 3 4 3 1 2 2 4 (3) 1 4 3 2 1 よって, S(4.0)=9, S(4, 1) =8, S(4, 2) =6, S(4, 3) = 0, S(4, 4)=1. (3) う個以上の不動数の中から, j個を選んで印 をつけることを考え,それを 「特別な不動数」 と呼ぶことにする. う個の 「特別な不動数」を含むう個以上の「不 動数」 があるような並べ方を次の (i), (i) の2通 りの方法で考える. (i) まず、n個の数の中からう個の「特別な不 動数」を決め,次に残りのn-j個の数を並 べる. この並べ方の総数は m nCj・(n-j)!通り. ...① (i)k=j,i+1, ..., n に対して,「不動数」 が ちょうどん個ある並べ方を考え,k個の 「不 「動数」の中からう個の 「特別な不動数」 を決 める. まずんをう≦k≦nで固定する. n個の数を,「不動数」 がちょうどん個 あるように並べる (S(n, k) 通り). そのそれぞれに対して,上のん個の「不 動数」からう個の 「特別な不動数」 を選ぶ (kCj 通り). よって、n個の数を, 「不動数」 がちょうど 個あるように並べ、 そのうちう個を「特別 な不動数」と決める場合の数は S(n,k)kC; 通り. 個の 「特別な不動数」 を含むう個以上の 「不動数」をもつ並べ方の総数は, ②にk=j, j+1,…, n を代入して足し合わせたもので あるから, S(n. k). *C, ). ...③ (なお,kの値が異なれば, 「不動数」の個数 が異なるため③の中に重複はない.) (i)(i) のそれぞれの方法で得られた並べ方の 総数は等しいから ① ③より, C, (n-i)!=S(n. k). C, k=j が成り立つ。 (4) (1) のんに置き換えると, k=k+3k(k-1)+k(k-1) (k-2) となるから, k³.S(n. k) =(k+3k(k-1)+k(k-1)(k-2)}・S(n,k) k=1 =k.S(n,k)+3k(k-1)・S(n.k) k=1 +k(k-1)(k-2) S(n, k). (#) ここで, (3) の等式より, j=1のとき, CS(n, k)=C.(n-1)!. k.S(n, k)=n!. k=1 j=2のとき, k=2 C₂ S(n. k)=C2(n-2)!. Σk(k-1). S(n, k) = n(n−1).(n−2)!. k=2 2! k(k-1)・S(nk)=n!. j=3のとき, k =3 C3 S(n, k)=C3 (n-3)!. k=3 kk-1)(k-2). S(n, k) 3! n(n-1)(n-2) 3! (1) (n-3)!. Žk(k−1)(k−2). S(n, k)=n!. ···⑥ k=3 (#) ④ ⑤ ⑥ より 解説 ②k.S(n.k)=n!+3•n!+n! ① (3)の考え方について =5n!. 解答 (3) を次のような「箱」と「球」 を用いて解説する. 1からnまでの番号が書かれた白球と1か 230

マーカーのところをどうやってやったのか途中式を教えていただきたいです。

例題 32.5 確率変数の平均・ 標準偏差平 **** 袋の中にn個(n≧3) の玉が入っている。 そのうちの2個は白玉で,残 りは黒玉である.この袋から1個ずつ玉を取り出していく。ただし、取り 出した玉は袋の中に戻さない. 白玉がはじめて出るまでに取り出される黒 玉の個数Xの平均と標準偏差を求めよ。 [考え方 たとえば, X=3 となるのは、3回目まで黒玉が取り出され, 4回目にはじめて白玉が 取り出されるときで,その確率は,P(X=3)=n-2.n-3.n-4. 2 解答 n n-1 n-2 n-3 である. 最初に袋の中に入っている黒玉の数はn-2 (個) であるから, 確率変数Xのと り得る値は, 0, 1,2,3, n-2である. また,Xが0となる確率は,P(X=0)=である 2 3-(k-1)-2- n 1≦k≦n-2 のとき, る。Xが P(X=k)=n-2.n-3 n-4 n-k-1 2 _n-k-1 2 nn-1n-2 よって、黒玉の個数Xの平均は、 2 n-2 n k=1 ( n 2 n(n- -1) となる。 2 al * n 赤の2(m-1-2月33) n-2 3 Z- また, n + J=0.01 E(X)=0-+2k. n-k-1 2 n-2 n-2 (n-1)Σk-k² k=1 (n-1) (n-1) 1/2(n-2)(n-1) -1 (n-2)(n-1)(2-3)} 2 n-2 n-k-1 E(X2)=02-+ n k=1 2 n-2 Σk²(n-k-1) n(n-1)=1 "-2 n-1 2(n-k-1) k(n-k-1)-1) n-1 家めよ k=1 を5回繰り返し、 k=n(n+1) Σk²= n(n+1)(2n+1) k=1 り出すとき、 (Z)を求めよ。 E+ X-X (S) n-k+1n-kn 2 -2 n-1 n(n-1) xn(n-1)1 21 {(n−1) Σk k=1 k=1 + n(n-1){(n-1)-(n-2)(n-1)(2n-3)-(n-2) (n-1)(n-2) (2n-3_n-2) 1)(n-2)(2m-38-2)=(-1)("-2)を求めよ。 よって,分散は, V(X)=E(X°)-{E(X)}よ (n- (n-2)(n-1)} 3 の (n-1)(n-2) 6(n-2)²= (n-2) (n+1) 18 したがって、標準偏差は, (X)=V(X)= V /2(n-2)(n+1) 6 練習 赤い本が2冊、青い本がn冊ある。このn+2 (冊)の本を無作為に1冊ずつ選び、 B2.5 本棚に左から並べていく。 2冊の赤い本の間にある青い本の冊数を X とすると *** Xの平均と分散を求めよ. 第2 F B B C C

数lllの問題です。71の問題でピンクのマーカーで線を引いた部分の式の出し方がわかりません。

☆★★ 求めよ。 70 和が1である無限等比級数がある。この偶数番目の項だけを取り出して作 った無限等比級数の和は1である。 もとの無限等比級数の各項を2乗し て作った無限等比級数の和を求めよ。 71 次の無限級数の収束, 発散を調べ, 収束するときはその和を求めよ。 2 2 + 1+2 1+2+3 ((1) 2+ 2 1+2+3+ ･･･...+n +... 1 1 1 (2) + + 1 + + 3+5+7+... + (2n+1) 3 3+5 3+5+7 72 次のものが収束するような実数xの値の範囲を求めよ。 (1) 無限数列{(x2-2)"} 8 *(2) 無限級数 Σ(x2-2)” n=1 2

（2）（3）がわかりません。 写真は､一枚目が問題､二枚目が解答､三枚目が私が解くに当たって参考にした教科書のまとめです。　 三枚目の上の段の1番右の式を使おうと考えたところまではいいのですが、その後がわかりません。 よろしくお願いします🙇‍♀️ また（3）も使う式は分か... 続きを読む

次の計算をせよ。 (1) (k²+3k) k=1 n (3) 234-1 k=1 12 (2) Σ 1 k=14k2-1

（2）の考え方を教えていただきたいです。 内積0を使うのかな？という検討はつきましたが、条件で与えられているベクトルをどのように扱えばいいか分からなくなってしまいました。

第1問 R3を3次元実列ベクトル全体の集合, I 3×3 を3×3 の実行列全体の集合とする. 1, 12, 73 ∈ R3は一次独立な単位長ベクトル, 4∈R3は n1, 2, ng と平行でない単位長ベクトルとす る.また,正方行列 A, B を 4 A= - 2 B = Σnin T \\n-n i=1 とする.ここで, XT, æT はそれぞれ行列 Xの転置行列とベクトルæの転置ベクトルを表 す。 以下の問いに答えよ。 (1)Aの階数が3となるような 4 に関する条件を求めよ. (2) 3次元ユークリッド空間において以下の3つの条件を満たす4つの平面 II = {æ ∈ R3 | new - d = 0} (d は実数, i = 1, 2, 3, 4) を考える (i) A の階数は3であ る, (ii) Ω = {æ ∈R3 | new-d≥0, i = 1, 2, 3, 4} が空集合ではない, (iii) II (i = 1, 2, 3, 4)に接する球C (⊂ Ω) が存在する. このときCの中心の位置ベクト ルをベクトルuER を用いて A-1u の形で表す. d (i = 1, 2, 3, 4)を用いてuを 表せ. (3) B が正定値対称行列であることを示せ. (4)4つの平面 {æ∈R3|nex-d=0} (dは実数, i = 1, 2, 3, 4) への距離の2乗和が 最小となる点P を考える. Pの位置ベクトルをベクトルver を用いて B-1 の形 で表す. ni, di (i = 1, 2, 3, 4) を用いて”を表せ. (5)13において点 Qi (位置ベクトルをER3とする)を通りに平行な直線をんとす る(i = 1, 2, 3). 任意の点R (位置ベクトルをy∈ とする) をんに直交射影した 点を R; とする.R の位置ベクトルを行列 Wi∈ R 3×3 を用いて y - Wi(y-æž) と表 す. I∈IR 3×3 を単位行列とする. (a) と I を用いて W を表せ. (b) WWWż を示せ. = (c)平面Σ = {ER3 | afx = b} を考える (a∈3は非零ベクトル, b は実数). 点SE∑はL, Iz, 13 への距離の2乗和を最小にする点である.n1, n2, n3 が互 いに直交するとき,Sの位置ベクトルをベクトルw∈3 を用いて aa ab I - w+ T ara の形で表す.ただし, は a,bには依存しないものとする. w を Wi, πi (i = 1, 2, 3) を用いて表せ. p. 1

2)発散する時も答えないんですか？

g 56 基本 例題 27 無限等比級数の収束条件 x(x-4)x2(x-4) 無限級数 (x-4)+ 2x-4 + (2x-4)2 +....... 000 (x2) について (1) 無限級数が収束するときの実数xの値の範囲を求めよ。 (2) 無限級数の和f(x) を求めよ。 p.53 基本事項 2.0m CHART & SOLUTION 00 無限等比級数 Σar" の収束条件 n=1 [1] a=0, r|<1 のとき 収束し、和は [2] a=0 のとき 収束し、 和は 0 (1) 与えられた無限級数は, 初項 x-4, 公比 a x その無限等比級数である。 2x-4 その収束条件は,上の[1], [2] から |公比<1 または (初項) = 0 (2)上の[1] [2] で和は異なるから、 場合分けをして和を求める。 解答 (1) 与えられた無限級数は, 初項x-4, 公比 x の無限 2x-4 等比級数であるから, 収束するための必要十分条件は x |21 または x-40 x 1から|x|<|24| 2x-4 よって 整理して |x|<|2x-4|2 (3x-4)(x-4)>0 ゆえに x2(2x-4)2 これを解いて x<, 4<x x-40 から x=4 よって、①,②から x<1/23 1≦x (2) x=4 のとき f(x)=0 x< 1/3.4<xのとき f(x)= x-4 =2x-4 x 1- 2x-4 PRACTICE 27° {(2x-4)+x}{(2x-0 >0 ①または②を満たす ◆初項0のときは 公比 1 のとき、 (初項) (公)