なぜ、(1)の問題でkΠとでてくるのですか？

1) 1+i n (1) (-1-34 ;)" √3+ i (2) 複素数zz+1.2= 14 解答 複素数のn乗の計算 (2) が実数となる最小の自然数nの値を求めよ。 CHART 複素数の累乗にはド・モアブルの定理 ASTMA EVY 極 1+i 3 +i) ゆえに [類 日本女子大] √2 を満たすとき, 220+ の値を求めよ。 [類 中部大] 基本 7,13 重要 18 ▷ (1) 1+i, √3 + i をそれぞれ極形式で表し, その商を更に極形式で表す。 その後にド・モアブルの定理を適用。 また実数 (2)条件式は,分母を払うとこの2次方程式になる。 ド・モアブルの定理を適用。 √2 (cos+isin) 2 ( cos com+isino) 6 よって (1/3+1)=(1/2)*(cosmatisin1) ① が実数となるための条件は の4元こし π π n sin 1/72 7 1 (cos0+isino)"=cosn0+isinno x=0 ₂ ZUG π =1/1/12 (cosisin -) √√√2 12 20 ・π HULTE+7 1 よってn=12k 虚部が0 解zを極形式で表して(······ ! ) 00000 のりんごのとなくかな 1/coute of nat の分母を実数 n 12π=k(kは整数) ゆえに, 求める最小の自然数nはk=1のときで n=12 ① 1+i √3+i 化するとうまくいかない。 (*) {cos (4) √√2 2 +isin ( 7 (1) 虚部 0 兀 1 712121 泣か ひ [sin0=0の解は 0=k(kは整数)

マーカーの部分がわかりません。なぜ🟰4が成り立つのでしょうか？ 解説お願いいたします🙇

羽 -4x <-4 よって (2) 4-2x<2x から ゆえに,解が1<x< 4 となるための条件は, ax<4-2x...….. la<1022 ①から (a+2)x < 4 ...... ② [1] a+2>0 すなわち α> - 2 のとき, ② から 4 4 x < よって a+2 a+2 よって a=-1 4 a+2 x>. ① の解がx<4となることである。 い。 [3] a+2<0 すなわち α <-2のとき, ② から このとき条件は満たされない。 [1]~[3] から =4 =4 x>1 a=-1 A=0のとき Ax>B A=0のとき、 よって B≧0なら 子ども 1人4 B <0なら 実数 ゆえに 4=4(a+2) これはα> -2 を満たす。 [2] α+2=0 すなわちα=-2のとき, ② は 0.x<4 よって、 解はすべての実数となり,条件は満たされな0<4は常に成り ら,解はすべて 1人 ◆両辺にa+2( けて解く。 かゴるこ ゴナ <x<4と不等号の人 違う。

水色のマーカーの部分について質問です。 なぜ、Xを満たす解はないのでしょうか？ ぴんと来なかったので解説お願いいたします。

5! 徳可能 青チャ･ - 書籍 きます。 事項の の か に で 70 重要 例題 38 文字係数の1 (2)類駒澤大 ] (2) 不等式 ax < 4-2x<2xの解が1<x< 4 であるとき,定数aの例題 39 1次不等式と (1) 不等式α(x+1) > x + α² を解け。 ただし, aは定数とする。 解答 文字を含む1次不等式 (Ax > B, Ax <B など) を解くときは, ・A=0のときは, 両辺を A で割ることができない。 A <0のときは,両辺を4で割ると不等号の向きが変わる。 いうこと (1) 与式から (a−1)x>a(a−1) [1] α-1 > 0 すなわちα>1のとき [2] α-1=0 すなわち α=1のとき これを満たすxの値はない。 [3] a-1 <0 すなわちα <1のとき a>1のとき x>a, a=1のとき 解はない , x<a a<1のとき ax<4-2x と同じ意味。 ① 求めるものをxとお (1) (a-1)x>a(a-1) と変形し,α-1> 0, a-1=0, a-1<0の各場合 不等式の文章題は、次の 14-2x<2x ②② 数量関係を不等式で (②2) ax<4-2x<2x は連立不等式 リンゴの総数は 「1人7個ずつ という条件を CHART 文字係数の不等式 割る数の符号に注意 0 で割るの まず,B を解く。 その解と A の解の共通範囲が1<x<4となることが ③③ 不等式を解く。 4 解を検討する。 注意 不等式を作る a < b ······ b は α a≦b bは CHART 不等 よって ...... x>a ① は 0・x>0 x>. x <a (2) 4-2x<2x から -4x <-4 よって ゆえに,解が1<x< 4 となるための条件は, ax<4-2x ① の解がx<4となることである。 ...... ①から (a+2)x<4 [1] α+2>0 すなわちa>-2のとき, ② から ふく よって よって 4 a+2 a=-1 次のこと x>1 ただし かの子ども達にリンゴを配 つにすると、最後の子ども =4 一般に、リンゴの総数を求めよ。 まず ① の両辺を で割る。不 変わらない A=0のときの AxBの解 SA=001 0>0は成り 負の数で割る。 の向きが変わ 子どもの人数を 1人4個ずつ配る a+2 ゆえに 4= 4(a+2) これはα>-2 を満たす。 [2] α+2=0 すなわちα=-2のとき, ② は x<4 よって,解はすべての実数となり、条件は満たされな0<4は常に成り い。 ら,解はすべて [3] a+2<0 すなわちα <-2のとき, ② から 4 このとき条件は満たされない。 a+2 [1]~[3] から a=-1 練習 (1) 不等式 ax>x+a²+a-2を解け よって B≧0なら解は B<0なら解は |実数 1人7個ずつ配 から, (x-1) ゴが最後の子 る。 これを不等 両辺に α+2 ( けて解く。 字数とする。 ...... x<4と不等号の 違う。 整理して 各辺から 各辺を一 xは子ど したが･ また, 練習兄弟 39 UP

38(1枚目)の(2)なんですけど、 条件の① k-6 =＜ -1ではないんですか？ なんでか教えて欲しいです💦😭 2枚目の方の問題の(2)では=<なのに何が違うのでしょうか、、？

SOSTE PR 実数全体を全体集合とし, ②38 $5.0>S+*8.0>8-75 A={x|-1≦x<5},B={x|-3<x≦4}, C={x|k-6<x<k+1}(kは定数) とする。 (1) 次の集合を求めよ。 5230 (イ) AUB (ア) ANB ( 2 ) ACCとなるんの値の範囲を求めよ。 (1) 右の図から (ア) A∩B={x|-1≦x≦4} (イ) AUB={x|-3<x<5} (ウ) A={xx<-1,5≦x} (エ) AUB={x|x≦4.5≦x} (2) ACCとなるための条件は k-6<-1 ・・･･ ① 5≦k+1 ② が同時に成り立つことである。 ① からん<5 ②から 4≦k 共通範囲を求めて 4≦k<5 ..... (ウ) A -A 50$+x80>8-x5 $30 N -3-1. k-6 -1 ・B- ·A· -C- ·A (エ) AUB 共 45 -A- X 5k+1 x x8 08-xS 1 集合の要素が不等式で 表されているときは,数 直線を利用する。 k=5のとき C={x|-1<x<6} であるから, ACCとは ならない。 等号の有無に 注意する｡ 5k [ɛ].

解説お願いします！

PRACTICE 125 ③ 3辺の長さが3,5, x である三角形が鋭角三角形となるように, xの値の範囲を定め よ。

下の方で矢印で示した式変形がどうも上手くいきません。どなたか途中式を示して頂けないでしょうか。

Check 例題 298 (1) bn= a=8, an+1= 解答 考え方 (1) (α>β) の値を求めよ. (2) 数列{an}の一般項an を求めよ. TA {bn}が等比数列になるのは, bn+1=rb, (公比r) と表されるときである.そのた めに, bn+1 を考えて, これを漸化式を利用して α で表してみる. (2) (1)で導いた {bn} を利用して一般項を求める. (1) bn+1= によって定義される数列{an}がある. an-β とおくと、数列{bn}が等比数列になるような,α, B an-a PRERAD .243 14 (668) ((2) 練習 [298] **** 分数型の漸化式 (2) 3an+2 an+2 = an+1-β an+1 - a mmmm 2-2a -α= 乗世界である003-4-B=23-28 3-β_3+1 3-43-2 つまり, 2-2β (3-B)an+2-2B3-Ban 3-B 部分が同じ形 (3-α)an+2-2a 3-a 2-2a an+ 3-B 3-a になれば, を 3-a したがって,数列{bn}が等比数列になるための条件は,公比として {bn} は 等比数列になる. この場合 α, B は, -x (3-x)=2-2x の2つの解であり, x2x-2=0 より, x=2, -1 a>より, α=2,β=-1 an+1 3 において、an-22 よって, 8+0 3 - に対し下また, b=a1+1 = 8+1 a₁-20-8-2 2 (1) bn= であり、これより = an= a1=2, an+1= 3an+2 an+2 3an+2 an+2 ・B a 6.4+8 3.4-8 an+B anta となり値を求めよ。 ・4n-1 3 漸化式と数学的帰納法 =4であるから, (1) より, bn+1=4bn 3x 23), b₂=2.4"-1 より, 3an+2-β(an+2) 3an+2-α(an+2 ) STAD **** (2) 数列{an}の一般項 αn を求めよ. 漸化式を用いるため bn+1 を考える. mm 特性方程式 (p.526 参照) x= 3x+2 x+2 より、 x2+2x=3x+2 (x-2)(x+1)=0 x=2, -1 と同じ解になる. 2(an+1) =3.4-1 (an-2) an= 6.4-1+2 3.4-1-2 6.4" +8 3.4"-8 4an+1 によって定義される数列{an}がある. 2an+3 とおくと,数列{bn}が等比数列になるような, α, B(α>B) の SENS 525 第8章 p. 566 30

順列の（5）の問題で、条件処理（各位の数の和が9）みたいなのするんですけど、こんなの地道にやってたら、時間かかりすぎて、15分はかかります。おかしいです。簡単に解く方法あったりしないんですか？

全部で何個 36の倍数 高位に0を並べないことに から4個取る順列」と考え である。 0123.0234のような数も含 (4) の位に0以外の1~5から1つ選ぶ。 .......... ■位は、0 を含めた残りの5個から3個取って並べる。 数 (次ページの参考参照)であることを利用する。 を取るか 考え, 0 を含む組と含まない組の場合に分ける。 であるから, (2) のうち, 2の倍数を考えればよい。 を含め 2400より大きい整数 M4.5のときの場合に分けて考える。 解答の図を参照してほしい。 4 桁の整数 を並べないように注意 ■が3の倍数 に並べる順列の Ⅰ0 以外 54 数の組は 1), ① 百田日 0 以外 千 に入れた数を除いた残り 5個から3個取って並べる (5通り)×(sPs 通り) 最初は0も含めて計算し 後で処理する方法。 4個の数の順列では, 0123 このような数を含むから、千 の位が0になる□ロロの 形の数を除く。 条件処理。 (ⅲiⅰ) 0.0.00 43,16 4×5P2 よって 5 BERRO の倍 の位が 1210g を含 よって、 100 3 (2) Fo 百十 である よって したがっ 5の の 9の 6P3=1201 6 よって, 求める個数は [別解 [1] 千の位が3, 4,5,6の場合 2500 より小さい整数 4-3 4×P2=4×5.4=80(個) 120+80 200 (個) [2] 26□□, 25□□の形の場合 4×P3=4×6･5・4=480 (個) ゆえに, 2500 以上の個 める個数は 720-520-200 (1) (5) 9の倍数となるための条件は、 各位の数の和が9の倍数にな ることである。 そのような4数の組は (0, 1, 2, 6), (0, 1, 3, 5), (0, 2, 3, 4), (3, 4, 5, 6) [1] 0 を含む3組の場合の整数の個数 →200 2×P2=2×5.4=40(個) よって, [1] の場合の個数は [2] (3,4,56) の場合 整数の個数は よって 求める個数は 7個の数字 0, 1, 2,3,4,5,6 を重複することなく用いて4桁の整数を作る。 次 のものは,それぞれ何個できるか。 (1) 整数 1つの組について,千の位は0以外の数であるから、この場 合の整数は 3×3!=18(個) 18×3=54 (個) 練習 男子4人, 女子3人がいる。 次の並び方は何通りあるか。 ② 13 (1) 男子が両端にくるように7人が1列に並ぶ。 (2) 男が隣り合わないようにな! (3) 久子のうち2人だけが隣り合うように7人が1列に並ぶ。 P2=4・3=12 (通り) (1) 男子が両端に並ぶ並び方は そのおのおのについて, 残り5人がその間に並ぶ並び方は 5!=120 (通り) したがって 求める並び方は 12×120=1440 (通り) 0-4 ( 25の倍数 T9の倍数 41=24 (個) 54+24=78 (個) (3) 3500より大きい整数 ·1-5 -2-4 4-2 3 (p.321EX10 ← (2500より) 1-(5)-(~~ という方針 P.S 練習 6個の数字 1, 2,3,4, 14 (1) 初めて 300000 以上 (2) 300 番目の数を答え (1) 初めて300000 以上に □□□□□の形のもの □□□□□」の形のもの よって, 312456は (2) (1) から, 100000 f 13通りで､ した。 について んでも構わない。 31□□□□ の形のも □□□□の形のも 341□□□の形のも □□□の形のも 以上の合計は したがって,300番 であるから 345 300 番目の数を 300 5!×2 から 4!×2 から ② 3!×2+2!×0 2番目の2で 数となる。 ゆ よって,300m 0 15 練習 右の図の。 にも同じ Kを求め

この問題の(2)ですが x＝3を満たす⊿ABCは存在しないと思うのですが ここで言及していないのは最終的な答えが3を含まないからですか？

158 三角形の成立条件、鈍角三角形となるための条件 ①① |AB=2, BC=x, CA=3である △ABCがある。 xのとりうる値の範囲を求めよ。 △ABC が鈍角三角形であるとき、xの値の範囲を求めよ。 三角形の成立条件|b-c| <a <b+c を利用する。 指針 ここでは, 3-2|<x<3+2の形で使うと計算が簡単になる。 (2) 鈍角三角形において,最大の角以外の角はすべて鋭角であるから、最大の角が鈍 角となる場合を考えればよい(三角形の辺と角の大小関係より, 最大の辺を考える ことになる)。そこで,最大辺の長さが3かxかで場合分けをする。 例えば CA(=3) が最大辺とすると, ∠B が鈍角 cos B <0⇔ となり、 等式が得られる。 (1) 三角形の成立条件から 1<x<5 練習AB=xBC c²+a²-b² 2ca 2 [類 関東学院大 ] P.248 基本事項 3 4 重要 159 a=x を代入して,xの2次不 +α²が導かれる。これにb=3,c=2, 3-2<x<3+2 よって 解答 (2)どの辺が最大辺になるかで場合分けをして考える。 [1] 1<x<3のとき,最大辺の長さは3であるから,そ の対角が90°より大きいとき鈍角三角形になる。 ゆえに 3²>2²+x² すなわち x2-5<0 よって ゆえに 1<x<3との共通範囲は 1<x<√5-1+up+³xl [2] 3≦x<5のとき, 最大辺の長さはxであるから,そ の対角が90°より大きいとき鈍角三角形になる。 ゆえに x2>22+32 すなわち x2-13> 0 よって (x+√13)(x-√13)>0 ゆえに 3≦x<5との共通範囲は √13 <x<5 [1], [2] を合わせて 1<x<√5,√13 <x<5 考鋭角三角形である条件を求める際にも,最大の角に着目 し、最大の角が鋭角となる場合を考えればよい。 <0c²+a²-b² <0 x<-√13,√13 <x (x+√5)(x-√5) <0_ ) - ( [+xS) + (− -√5<x<√5 (1+78)(1-5)S |x-3|<2<x+3または |2-x|<3 <2+x を解い てxの値の範囲を求め てもよいが, 面倒。 (1) から 1<x [1] 最大辺が CA=3 CA Cart3である△ABCがある。 20 3 B C x B>90°⇔ AC² > AB2+BC2 (1) から x<5 (18)(1-A 259 [2] 最大辺がBC=x (+S)(1-2 S) (B STA>90° BC²>AB²+ AC² 3 x 4 章 正弦定理と余弦定理 [類 久留米大 ] par

写真の質問を答えてください！

350 00000 0,1,2,3,4,5の6個の数字から異なる4個の数字を取って並べて, 4桁の整 基本例 12 0 を含む数字の順列 6の倍数 数を作るものとする。次のものは全部で何個できるか。 ●倍数 (1) 整数 解答 指針を含む数字の順列の問題では、最高位に を並べない ことに要注意。 例えば,(1) を,単純に「6個から4個取る順列｣ と考えて、 「求める個数はP」 とすると誤りである。 P』では、4桁の整数でない 0123,0234 のような数も 含まれてしまう。 すなわち、条件処理が必要で,まず, 最高位の千の位に0以外の数字から1つ選ぶ。 (1) 千の位は0以外の5個の数字から1個選び、百,十, 一の位は、0 を含めた残り の5個から3個取って並べる。 (1) 千の位は0以外の1~5の数字から1個を取るから 5通り そのおのおのについて, 百, 十, 一の位は, 0 を 含めた残りの5個から 3個取る順列で P3通り よって 求める個数は ( 2 ) 3の倍数→各位の数の和が3の倍数であることを利用する。 和が3の倍数にな る4個の数字の組を考え, 0 を含む組と含まない組の場合に分ける。 (36の倍数2の倍数かつ3の倍数であるから, (2) のうち,2の倍数を考えれば よい。つまり、一の位に着目する。 (4) 千の位が2のときと, 千の位が3,4,5のときの場合に分けて考える。 (1)~(4) のいずれも, 選び方や並べ方は、解答の図を参照してほしい。 CHART 0 を含む数字の順列 最高位に 0 を並べないように注意 (4)2400より大きい整数 基本11 5×sP3=5×5・4・3=300 (個) 甲圓田日 0 以外 千 に入れた数字を 除いた残り5個から 3個取って並べる (5通り) × ( 3P 通り) よって、求める個数は 順列の総数は 6P₁-6-5-4-3=360 (1) このうち, 1番目の数字が0であるものは P3=5・4・3=60 (個) 360-60=300 (個) 4 桁の整数 国土日 LO以外 別屋 0~5の6個の数字から4個を取って1列に並べる 最初は0も含めて計算し、 後で処理する方法。 4個の数字の順列では, 0123のようなものを含 むから、千の位が0にな □□□の形のものを 除く。 <指針_ __...... ★の方針。 0 を含む数字の順列の問 題では, 最高位に0を並 べないことに注意する。 (2)3の倍数となるための条件は、 各位の数の和が3の倍 数になることである。 2012345のうち, 和が3の倍数になる4個の数 条件処理。 字の組は 719 00 1,2,3), (0, 1,3,5),(0, 2,3,4), (0, 3, 4, 5), (1, 2, 4, 5) [1] 0 を含む4組の場合 1つの組について, 千の位は0以外であるから 3×3!= 18 (個) 4×18=72 (個) 4!=24(個) よって ( 3通り) [2] (1,2,4,5) の場合 整数の個数は したがって 求める個数は なんで 36の倍数は、2の倍数かつ3の倍数であるから, (2) のの5組からできる数の うち、一の位が偶数となるものを考える。 [1] 一の位が0のとき 0を含む組は4組あるから 4×3!= 24 (個) [2] を含む組で一の位が2または4のとき 千の位は0以外で, 百, 十の位は残りの2個 を並べるから 2×2!=4 (個) 2を含む組は2組, 4を含む組は2組あるか ら 4×2+2)=16 (個) [3] (1,2,4,5) の場合 整数の個数は 2×3!=12 (個) よって 求める個数は [1] 千の位が2のとき 百の位は, 4 または5であればよいから 2×P2=2×4・3=24 (個) [2] 千の位が 3,4,5のとき 百,十,一位は,残りの5個から3個取る 順列であるから P3=60 (個) よって したがって 72+24=96 (1) 3×60=180 (個) 求める個数は 24+1612=52(固) 倍数の判定法(第4章でも学習する ) 2の倍数 一の位が偶数 5の倍数 24+180204 (個) 一の位が0か5 3の倍数 各位の数の和が3の倍数 9の倍数 各位の数の和が9の倍数 [1] 私の位は [2] 一の位が2ならば 千 百 田 ② 4の倍数 25の倍数 [1]0を含む 甲国田日 0 以外に入れた数字を除い たを並べる 6の倍数 DD 13% 31/1 3個並る(通り) 以外 残2個を並べる 通り)×(通り) (2通り) x (4P2通り) [2] 3 か 4 か 5 百田日 3通りー [3] 千 百 十 2 か 4 残り3個を並べる ですか? The 残り4個から2個. 取って並べる 残り5個から3個 取って並べる (3通り) x (sP3 通り) 00 下2桁が4の倍数 下2桁が25の倍数 2の倍数かつ 3の倍数 351 12 もの､それぞれ何個できるか。 7個の数字 0 1,2,3,4,56を重複することなく用いて4桁の整数を作る。 次の (3) 3500 きい整数 1 章 ③順 列 0 a C 1021=86+x-15.

cは任意の実数 って書く必要ありますか？ また、(2)は傾きが同じでＹ切片が違えば平行(3)では、傾きが同じでＹ切片が同じなら直線は一致するってことですよね？

基本 例題 73 2直線の共有点と連立1次方程式の解 連立方程式 ax+3y-1=0,3x-2y+c=0が,次のようになるための条件 を求めよ。 (1) ただ1組の解をもつ CHART & SOLUTION 2直線A, ⑥ の共有点の座標 連立方程式 A,Bの解 2直線が 連立方程式が [1] 1点で交わる (共有点は1つ ) ⇔ 1組の解をもつ [2] 平行で一致しない (共有点はない) ⇔解をもたない [3] 一致する(共有点は直線上の点全体) 無数の解をもつ 解答 ax+3y-1=0 から ゆえに 3x-2y+c=0 から (1) 連立方程式 ①, ② がただ 1組の解をもつための条件は, 2直線①②が1点で交わる, すなわち平行でないことで ある｡ čast 0 よって a 3 ・キ 3 2 ゆえに y=- ゆえに (2) 連立方程式 ①,②が解をもたないための条件は, 2直線 ①,②が平行で一致しないことである。 よって A=I =-=1/x + 7/3/73 a 3 9 a キー cは任意の実数 2 " 3 y=-2/x+€ a=- a 3 1 C 3 2' 3 2 9 (2) 解をもたない (3) 無数の解をもつ p. 121 基本事項 cキ キ 2 (3) 連立方程式 ①, ② が無数の解をもつための条件は, 2直 線①②が一致することである。 よって a 3 1 C 32' 3 9 c= /²/² 3 1回 ! inf. 2 直線 ax+by+c=0, azx+bzy+cz=0 が 平行であるための条件は ab-azb1=0 である (p.120 基本事項 3 ) から, (1) は abz-azbi≠0 より求めてもよい。 なお, a2 = 0, bz=0, Cz=0 のとき, 2直線が 一致するための条件は Xaα₁ _ b₁_C₁ a2 b₂ C2 である。 (3) は, この式から 求めてもよい。 ← ①, ② は同じ方程式 9x-6y+2=0 となる。 125 3章 11 直線