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例題 98
円外の点から引いた接線(2)
2円の方程式
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x+y=5に点 (31) から接線を2本引く。そのときの2つの接点
P,Q とするとき,直線PQ の方程式を求めよ。
[考え方 接点の座標をP(x, yì), Q(x2,y2) とおいて求める
解答
接点をP(x1,yi), Q(x2,y2)とすると、
点Pにおける接線は, xx+y=5
3x+y=5Q...①
3x2+y2=5... ②
これが点 (31) を通るから,
点Qにおいても同様にして
①②より、点P. Qは直線 3x+y=5 上の点である
2点PQ を通る直線は1本に決まるので、直線 PQ
の方程式は, 3x+y=5
(別解) 点R(3,1) とする.
△OPR と △OQR は合同な三角形
だから、対称性より, OR⊥PQ
円x+y=r上の
点(x1, yi) における
接線の方程式
xx+y=r
YA
R(3, 1)
√5-
P
P
(3.
0
x
x
1Q
これより直線PQの傾きは3で
あるから kを実数として, 直線 PQ
は,y=-3x+kとおける
0
1QS
原点と直線 PQ の距離 dは, d=
|-k|
k
√32+12 10
ここで 直線 OR と直線 PQ の交点をSとすると,
(直線ORの傾き)
(直線PQの傾き)
図より, k0
△OPR∽△OSP であり, OR=√10 OP√5OS=
k
∠POR = ∠SOP,
√10
∠OPR = ∠OSP
だから5:10:5
k=5
10
OP: OS=OR: 0
よって、 直線 PQ の方程式は、 y=-3x+5
Focus
円外の点(x,y) から円x+y=r" に引いた接線の
2 接点を通る直線は, xox+yoy=r.2 (極線)
注 <証明> 接点を (x1,y1)(x2,y2) とすると,
接線はxx+yy=rx2x+yzy=r
YA
(xo, yo)
(x, y)
となりともに点(x,y) を通るから,
xix+yiyo=r2, x2x+yayo=r2
(*)
O
X2Y2
ここで, 直線 Xox +yoy=r を考えると、
(*)より(x,y) (x2,y2) はこの直線上の点である。
よって, 求める直線は, xox +yoy=r(証明終)
同様に考えて、円外の点(x0,yo)から円(xa)(y-b)=rに引いた接線
の2接点を通る直線の方程式は,
(xa)(x-a)+(yo-b)(y-b)=r
練習x+y=10 に点(5, 5) から接線を2本引く。 そのときの2つの接点を結
98 直線の方程式を求めよ。
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