-
![]()
290
基本 例題 184
3次関数の極大値と極小値の和
α は定数とする。 f(x)=x+ax²+ax +1 が x=α, B (a<β) 極値をと
る。 f(α)+f(B)=2のとき, 定数αの値を求めよ。
CHART & SOLUTION
00000
基本183
3次関数f(x) x=α, β で極値をとるから, α, βは2次方程式 f'(x)=0の解である。
しかし、f'(x)=0 の解を求め, それを f(x)+f(B)=2に代入すると計算が煩雑。
f(a)+f(B) はαとβの対称式になるから
α.8の対称式 基本対称式α+β, αβで表されるに注目して変形。
なお,α+ β,aβ は, f'(x) =0で解と係数の関係を利用すると αで表される。
解答
f'(x) =3x2+2ax+a
f(x) が x=α, β で極値をとるから,
0
まと
数学Ⅱ
p.283
の特徴
3次
2次)
f
f'(x) =0 すなわち 3x2+2ax+a=0
......
・①
は異なる2つの実数解 α, β をもつ。
①の判別式をDとすると
0-G
-=a²-3a=a(a-3)
4
まず、f(x)が極値をも
つようなαの範囲を求
止めておく (基本例題183
(1) と同様)。
a>
D>0 から a < 0,3<a
また,①で,解と係数の関係により
2
実の
a+B=-a, aẞ=a
ここでf(a)+f(B)=a3+ax²+aa+1+3+a2+aβ +1
=(ω°+β3)+α(a2+ B2)+ α(a + β)+2
=(a+β)-3aB(a+B)+α{(a+B)2-2μß}+α(a+B)+2
=(a+B)3-3aß(a+B),
x+a {( — — —³a)² - 2 — —³a}+a⋅(-1)+2
4
a²-a¹+2
27
f(x)+f(B)=2から 12/17 - 1/2/30°+2=2
よって
2a3-9a2=0
②を満たすものは a=-
すなわち a²(2a-9)=0
J
2
a2+B2=(a+B)2-2a
αを消去。
inf. この問題では極大値
と極小値の和f (a)+f(B)
を考えた。 極大値(もしく
は極小値)を単独で求める
必要がある場合に,極値の
x座標であるα (もしくは
B)の値が複雑な値のとき
は EX 148 を参照。
左
PRACTICE 184Ⓡ
