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き、次の関数のグラフをかけ。
関数f(x) (0≦x≦4) を右のように定義すると
重要 例題 68 定義域によって式が異なる関数 (2)
00000
f(x)=
=(2x-2x (25x50)
(0≦x<2)
(1) y=f(x)
(2)y=f(f(x))
指針 定義域によって式が変わる関数では,変わる境目のx,yの値に着目。
(2)f(f(x)) f(x)のxに f(x) を代入した式で,
解答
0≦f(x) <2のとき 2f(x),
2f(x)4のとき
!
8-2f(x)
(1)のグラフにおいて, 0≦f(x)<2となるxの範囲と, 2≦f(x)≦4となるxの範囲を見
極めて場合分けをする
(1) グラフは図 (1)。
(2)f(f(x))={2}(x) (2≧f(x)≦4)
(0≤f(x)<2)
よって, (1) のグラフから
0≦x<1のとき
f(f(x))=2f(x)=2.2x=4x
1≦x<2のとき
f(f(x))=8-2f(x)=8-2・2x=8-4x
2≦x≦3のとき
f(f(x))=8-2f(x)=8-2(8-2x)=4x-8
3<x≦4のとき f(f(x)) =2f(x)=2(8-2x)=16-4x
よって, グラフは図 (2)。
(1)
YA
4
T
J
VA
4
O
1 2 3 4 x
0 1 2 3 4 x
■変域ごとにグラフをかく。
(1)のグラフから,f(x)の
変域は
0≦x<1のとき
0f(x)<2
1≦x≦3のとき
2≤f(x)≤4
3<x≦4のとき
0≤f(x)<2
また, 1≦x≦3のとき,
f(x) の式は
基本
① 2次
1≦x<2なら f(x)=2x
2≦x≦なら f(x)=8-2x
のように, 2を境にして式
が異なるため (2) は左の解
答のような合計4通りの場
合分けが必要になってくる。
2
3
x
ま
2
参考 (2) のグラフは、式の意味を考える方法でかくこともできる。
[1]f(x) が2未満なら2倍する。
YA
8から2倍を
ASS
引く
4
[2]f(x) が2以上4以下なら, 8から2倍を引く。
[右図で, 黒の太細線部分が y=f(x), 赤の実線部分が
2
y=f(f(x)) のグラフである。] なお, f(f(x)) f(x) f(x) の
合成関数といい, (fof) (x) と書く (詳しくは数学Ⅲで学ぶ )。
0
X
2倍する
