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B2-10
Think
例題 B2.6 漸化式と平均・分散
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(1) 硬貨を5回投げて, 表の出た回数と裏の出た回数の差の絶対値をX。
とする. 確率変数 X の平均E(X) と分散 V (X) を求めよ.
(2) (1) の X。 から始まり, 4X,=Xn-1+3 (n=1, 2, ......) によって定まる
確率変数の列 Xo, X1,X2, ....... Xn, ・・・・・・ がある. X, の平均E(X)
と分散 V(X) を求めよ.
考え方 (1) たとえば、(表裏)=(1回 4回) (4回 1回)のとき, X=3となる.
解答
またこのときの確率は,
+50
(12)(2/2)+(1/2)^(1/2)である。
(2)X, は、2項間の漸化式の考え方を利用して求める.
(1) 硬貨を5回投げたとき,表と裏の出る回数, 回数の差の絶対値 X の値、お
よび,それが起こる確率は次のようになる.
(表裏)=(0.5) (50) とき,Xo=5であり,
P(X=5)=2×(1/2)^(1/2)=270
(表裏) = (1,4) (41) のとき,X=3であり,
5
P(X=32×(1/2)^(1/2)-2727
(表裏) = (2,3) (32) のとき, X=1 であり,
P(X=1)=2×(1/2)(1/2)=120
(12)(1/2)
=5Co
(表裏) = (4,1) (32)
のときも同様
(1)(1
5
10
15
よって,平均は,
E(X)=5x- +:
24 8
また,EX)=5°×1/21+3°×12021121221=5より、分散は、
V(X.)=E(X,³)—{E(X)}²=5— ( 15 )² = 95
(2) 4X,=X,1+3 は,X,-1=1(X,,-1) と変形
特性方程式 4α =α+3
より, α=1
できる.
+
よって、X-1=(1)(x-1)より.X.=(1/2)x-(2)+1
したがって、
平均は F(X)=(1/2)E(X-1)+1=(1)1/18-(1)+1
=2(1)+1=2+
+1
分散は,
v(x) = {(+)"}*v(x) = {(+)}* 95
95
24n+6
練習
赤玉が3個,白玉が2個,青玉が1個入っている袋がある.この袋から3個の
B2.6 玉を同時に取り出すとき、取り出された玉の色が何種類であるかを確率変数X
で表す.Xから始まり,X,=3X,-1+2 (n=1,2,… によって定まる確率変
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数の列 Xo, X1,X2,
を求めよ.
Xn,・・・・・・について, X, の平均E (X) と分散V (X)
82-8
5
るとする
