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例題 55
文字係数の方程式
a を定数とするとき, 次の方程式を解け.
(1) ax²-(a+1)x+1=0
考え方 文字係数を含む方程式を解く問題.
平
****
(2) (a2-1)x2=a-1
p.68 の例題 29 文字係数の不等式と同様に考える. つまり, 見かけ上の最高次の項の
係数が0の場合とそうでない場合を分けて考える。
たとえば, (1) では, x2 の係数 αに着目すると,
a=0 のとき, -x+1=0 となり, 1次方程式となる.
a≠0 のとき, ax²-(a+1)x+1=0 の2次方程式を考える.
解答
(1) (i) a=0 のとき
x2の係数が0のとき,
もとの方程式は, -x+1=0 より
x=1
x2の項がなくなるの
(ii) α = 0 のとき
ax2+(-a-1)x+1=0
で,xの1次方程式に
なる.
(x-1)(ax-1)=0 より
1
x=1,
-1→
- a
a
a -1→
-1
よって,
a=0 のとき, x=1
-a-1
a=0 のとき, x=1,
a
(2) (a-1)(a+1)x2=a-la-lを消しちゃダメ!
(i) a=1 のとき
もとの方程式は,
0⚫x2=0
このとき,xはすべての実数
(ii) α=-1のとき
もとの方程式は,
0.x2=2
これを満たすxは存在しないので,解なし
() αキ±1 のとき
a2-10 から, 両辺を2-1で割って
x²=
1
a+1
a=1のとき, xがど
のような値であっても,
0.x=0 は成り立つ.
a=−1 のとき, xに
どのような値を入れて
も.0.x=-2が成り
立たない.
a-1
a²-1
a-1
(a+1)(a-1)
α>−1 のとき, x=±
1
Va+1
=+
_va+I
a+1
1
->0より,
a+1
a+1>0
よって,
(込)
-1 のとき,解なし
a=1のとき,xはすべての実数つまり,α> 1
a≦-1 のとき,解なし
-1<a<1,1<α のとき,x=Ya+1
2次方程式のズの係数が0かどうか
(i) a=0
or
(ii) a0
(x=(
)
a+1
) キ 0 に注意
株
( )が0かどうか分からない
=0 を解け .
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第 2 章
