X3/16
重要 例題 170 曲面上の最短距離
1 とする。
右の図の直円錐で, Hは円の中心,線分 AB は直径,
sin 0=
3
OH は円に垂直で, OA=a,
A
B=1 とするとき,
B
点Pが母線 OB 上にあり, PB=
基本149
点Aからこの直円錐の側面を通って点Pに至る最短経
路の長さを求めよ。
指針 直円錐の側面は曲面であるから, そのままでは最短経路は考えにくい。 そこで、曲面を広
側面の展開図は扇形となる。
→
げる つまり 展開図で考える。
なお、平面上の2点間を結ぶ最短の経路は, 2点を結ぶ線分である。
解答
AB=2r とすると,△OAH で, AH =r, ∠OHA = 90°,
r_1
sin=
であるから
a
3
B
側面を直線OA で切り開いた展開図
B
は、図のような, 中心 0, 半径
PERTHO
A'
する正
OA=αの扇形である。
x
A' (A) A
中心角をxとすると, 図の弧 ABA'
の長さについて
0
DEAR
x
2ла•
=2πr
DICD
360°
弧ABA' の長さは、底面の
円Hの円周に等しい。
614 GACY
r_1
10
2017-1234 であるから x=360° -=360°• -
0°• 1/3 = =120°
a
1
① ここで,求める最短経路の長さは、図の線分 APの長さである 2点S, T を結ぶ最短の経路
から、△OAP において, 余弦定理により,
AP2 = OA2+OP²-20A ・OP cos 60°
は2点を結ぶ線分 ST
2
= a ² + ( ² = a)² - ²a + ²/3 a ² =²2² = ²/1 a ²
2 1
BBC
2a.
7
3
・a・
9
AP>0であるから 求める最短経路の長さは √7
S
a
練習
1辺の長さがαの正四面体OABC において, 辺AB,
170 BC, OC 上にそれぞれ点P, Q, R をとる。頂点Oから
(3)
P, Q, R の順に3点を通り,頂点
0
長さを求め
?62
A
15/0₂
a
3
H
