第3節 瀬化式と数学的帰納法 145
@ P.107 @
馬誠を学帰納法を用いて証明せよ。
間6ケーの!ー1
請衣2 ただし. は4以上の自然数
帰納法によ る等式、不等式の証明
前7ダーリ のとき, 左辺と右辺が等しいことを示す。
隔 衣三2のとどき) 等式が成り立つことを仮定し。 ヶーん1のとき
が をの左辺に (を1・(を十1)! を足して, 右辺が
人k+)り!ー1 の形になることを示す。
人 ヵは4以上の自然数であるから。 []では ヵ一4 のとき成り立つこ
劇を示ずあまた) [2]で ヵーを填1 のとき成り立つ不等式は,
(6 ー(を1)二2 であるから, z王をのとき仮定した不等式
を用いで』 2一(ん0ー(を1)二分>0 を示す。
「: 同り) この等式を(A)とする。
還 ヵ一1のとき
左辺=1.1!ー1, 右辺=2!一1=1
よって, ヵー1 のとき, (A)が成り立つ。
2 ヵ三をのとき(A)が成り立つ。 すなわち
1.1!+2.2!二3・3!上……二をん!王(ぁ十1)!一1
が成り立つと仮定すると, 土1 のときの(A)の左辺は
1r1!寺2・2!寺3:3!圭ーーを・!主(1)・(ん十1!
に +1・(z+1
1+(ぁ+1}(@二1)!ー1
=(ぁ+2(を二1)!ー1=(を2)!ー1
=((&+1二1!ー1
よって, ヵ三ん士1 のときも(A)が成り立つ。
[, [2] から, すべての自然数ヵ について(A)が成り立つ。
