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1より小さいn個の正数の職
☆のkが定数でないと
簡単には解くことのできない2項間の漸化式 an+1=f(am)の極限値を
のた、前問のように視覚に頼らないとすれば、2つの方法があってここで
第1の方法を紹介しよう、(次の 5. が第2の方法)
であることを
Z+1-as(z,-a)
3
2n
2n-1.2n-2
2n+1
2n
2n-1
n+1
は
で、n→ 0のとき
ます, 3. の方法などにより極限値αを予想し,与えられた漸化式から
Tan+1-alskla,-al. kは0sk<1である定数
2n+1
は収束しない(1/2 に収束)
考えると,☆のe は“定新
いと,an→a(n→ )と
できない。
■入試では
本間のように,とりあえも
の形の不等式を導く. すると,
0Sla,-alS"-1リa-al
an→a(n→ 8)
であるから,はさみうちの原理により, la,-al0
【解答)
等式を証明させる問題が
『If(z)|の最大値をMと
a=f(a)によって定める。
値の定理により、
a>1 により,Z」=azVa
また,あきらかに Z>0であるから,相加·相乗平均の不等式により,
a
-=Va
a
Te+1=
If (a,)-f(a)|<M\a
よって,つねにZ,w{aである. 次に,
2
Ei, t
:. lan+1-aSMIla,-
という流れの問題も少なく
ちろん, M<1を示すこと
トになる。
2
a
In
3
エa+」ーa(-)
32,2
3
1
a
3
3エn
であるから,確かに ~が成り立つ。この~~を繰り返し使うことにより,
2
\n-1
0Sエ,-as
3
よって,はさみうちの原理により, lim(z,-Va)=0 .:. limz,=a
n→0
n→0
X
5. 解けない漸化式と極限(2)
漸化式a,=2, 2an+1Qn=a,?+2 (n=1, 2, …) で定められる数列 {a,} を考える。
(1) an2V2, an+1Sa, (n=1, 2, …) を示せ。
(2) lima,=V2 を示せ
れーO
【Point】前問のPoint の☆のkは, anニ¥2 を示したあと,
a+2-2/2a,_aュー
「教科書にはないが
左の定理は教科書に
,-12
20m
によってk=1/2ならよいことがわかるが, kが与えられていないときは,
単調で有界な数列は収束する (rp.24)
という定理に目を向けよう. an+1=f(an)で定める数列 {a,} が収束することか
覚的に明らかなので,
ても減点されることに
an+1-V2=
2a。
■前問の傍注の手法
2
エ+
いえたなら, その極限値αはα=f(α) をみたすことから, αを具体的に求める について,げ(エバー
ことができる。
【解答】(1) 明らかに a,>0 (n=1, 2, …) であるから,
はうより小さいの
an
1
an
1
an+1=
2
=(2
2
: a,22 (n=2, 3, …)
an
an
84
