考えること
例
すべての整数 m に対して
m²-m-1
pm がつねに整数となるよう
な定数 p を求めよ.
-95-14
(2) a, b を定数として, 多項式 f(x) を
10)=8.180
f(x)=x4+ax2+bx-a-2
によって定義する. すべての整数に対して
f(m) がつね
m2-m-1
に整数となるための必要十分条件を a, b を用いて表せ.
(M) (1) m (>0)***<l<n<&)+)n(In) =
(mm) p
h)(I-n)(Sn) =
〔北海道〕
m2-m-1
1枚のだから、2
m- -1-
+
m
の分母はいくらでも大きくなるので, | ① | の値はいくらでも小さくなる.し
たがって,「すべてのm > Nについて|①|<1」 となる N がある.また
|①| は整数だから,このとき ① = 0 すなわち p=0である (必要).p=0
のとき ① = 0だから条件をみたす (十分)ので, 求める p p=0.
(2) f(x) をx-x-1で割ることにより,
f(x) = (x2-x-1)(x2 + x + a + 2) + (a + b + 3)x
さ
f(x)
(a + b + 3)x
=x+x+a +2 +
②
x2-x-1
x2-x-1 (I
(1-x2-x-12
とかける.
78
x が整数のとき②が整数となるならば,とくに x = 0 としてa+2は
整数,すなわち q は整数である.また,このときすべての整数x に対して
(a+b+3)x
x2-x-1
が整数なので(1)からa+b+3=0である (必要)
逆にaは整数でa+b+3=0のとき, ②から条件は成り立つ (十分).
以上から,求める必要十分条件はαは整数かつa+b+3=0
ロ
