基本例題 50
2次方程式の解の存在範囲
00000
2次方程式 x2-2px+p+2=0が次の条件を満たす解をもつように,定数ｶの値
の範囲を定めよ。
(1) 2つの解がともに1より大きい。
(2) 1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい。
指針
解答
2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα, β とし,判別式
をDとする。
2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとする。
(1) 2つの解がともに1より大きい。 →α-1>0 かつβ-1>0
(2)1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。→α-3とβ-3が異符号
以上のように考えると, 例題 49 と同じようにして解くことができる。なお,グラフを利用
する解法 (p.81 の解説) もある。これについては,解答副文の別解 参照。
D=(-p)²-(p+2) =p²_p_2=(p+1)(p−2)
a+β=2p, aβ=p+2
4
解と係数の関係から
(1) α>1,β>1 であるための条件は
D≧0かつ (α-1)+(β−1) > 0 かつ (α-1) (B-1)>0
D≧0から
(p+1)(p-2) ≥0
よって
p≤-1, 2≤p
(a-1)+(β−1) > 0 すなわち α+β-2> 0 から 2p-2>0
よって
p>1
(a-1)(β−1)>0 すなわち αβ-(α+β)+1>0 から
p+2-2p+1>0
よって
p<3
求めるかの値の範囲は, ①,②,
③の共通範囲をとって
2≦p<3
(2) α<β とすると, α<3 <βであるための条件は
(α-3)(B−3)<0
aβ-3(a+β)+9<0
p+2-3-2p+9<0
すなわち
ゆえに
よって
11
長くは
-1
123
p.81 基本事項 [2]
YA
3
【別解 2次関数
f(x)=x2-2px+p+2の
グラフを利用する。
(1) =(p+1)(p−2) ≥0,
軸について x = p> 1,
f(1)=3-p>0
から 2≦p<3
0
1
83
!
a
x=py=f(x)
x
20
(2) f(3)=11-5p < 0 か
か>
p>1/12/2
5
題意から、α=βはあ
ない。
び次の条件を満たす解をもつように,
