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基本事項
I 2次方程式の実数解の符号
2次方程式 ax"+bx+c=0の2つの解を α, B, 判別式を D=6°-4acとする。
0 a>0かつB>0→ D20かつ α+B>0 かつ aB>)
のく0かつB<0→ D20かつ α+β<0 かつ aB>0
3) αとBが異符号→ «B<0
22 2次方程式の実数解と実数kの大小
2次方程式 ax°+bx+c=0の2つの解を α, B, 判別式をDとする。
0 α>々かつB>k→D20かつ(α-k)+(B-1k)>0かつっ(α-k)(B-k)>0
② αくたかつ Bく々→ D20かつ (α-k)+(B-k)<0かつ (α-k)(B-k)>0
③ たがαとBの間→ (α-k)(B-k)<0
このとき,常に D>0である。
解説
<2次方程式の実数解の符号>
【O の証明)
(→)a, Bは正の数であるから,実数であり
また,α>0かつ B>0ならば α+β>0, aB>0は明らかに成り立つ。
(-)D20 から,α, Bは実数(正の数,0,負の数のいずれか)である。
aB>0 より,αとBは同符号であり,α+B>0から
[2 の証明
のと同様にして証明できる(証明略)。
[3 の証明]
(→)αとBが異符号なら aB<0は明らかに成り立つ。
D20
a>0, B>0
(=) aB<0 ならば,解と係数の関係より, aB=€であるからこく0
C
C
a
a
a'(>0) を両辺に掛けて ac<0
したがって, αとBは実数であり aB<0 から, αとβは異符号である。
注意 の(一)では aB<0だけで条件 D20 も含み, D20は不要である。
また, 20であるから D=6°-4ac>0
<2次方程式の実数解と実数 k の大小>
αくk→a-k<0, α=k→-k=0, α>k→-k>0 であるから,Dの 0~③と
に考えて, α-k, B-kの符号を調べればよいことがわかる。
a>0の場合,2次関数 f(x)=ax°+bx+cのグラフ(下図)から, 次のことが成り立つ。
0 α>k, B>k→ D20, (軸の位置)>k, f(k)>0
2 α<k, B<k→ D20, (軸の位置)<ん, f(k)>0
3 kがaとBの間 → f(k)<0
a<0の場合は,①, ②, ③ で, それぞれf(k) の符号が逆になる。
D20
軸くん
S(R)>0
f(R)<0
D20
軸>k
F(R)>0
k
軸
Bk x
軸
B
ka
B
0
x
