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基本例題108 素数の問題
(1) nは自然数とする。 n2+2n- 24 が素数となるようなn をすべて求めよ。
練習
3 108
[(2)類 同志社大]
(2) ,g,rp <g <r である素数とする。 等式r=g² -p を満たすか, 4,rの
組 (p,q,r) をすべて求めよ。
素数の正の約数は1とか 自分自身) だけである
このことが問題解決のカギとなる。 なお, 素数は2以上 (すなわち正) の整数である。
これが素数となるには, n +6>0と!より,-4,
(1) n²+2n−24=(n-4)(n+6)
n+6のどちらかが1となる必要がある。 ここで,n-4とn+6の大小関係に注目する
と、おのずとn-4=1に決まる。
(2)等式を変形すると (g+p) (g-p=r
p>g-p>0,r は素数であることに注
目すると g-p=1 ここで,g, p はその差が奇数となるから,
一方が奇数で,他方が偶数である。 ここで, 「偶数の素数は2だけ
である」という性質を利用すると、かの値が2に決まる。
CHART 素数 正の約数は1とその数だけ 偶数の素数は2だけ
指針
解答
(1) n²+2n−24=(n-4)(n+6)
nは自然数であるから n +6>0
n²+2n−24が素数であるとき, ① から
n-4=1
ゆえに
n=5
よって
このとき
n²+2n−24=(5-4)(5+6)=11
これは素数であるから, 適する。
したがって
n=5
(2) r=q²-p²t²5 (q+p)(q-p)=r
0 <p <g <rであるから
0 <g-p <g+p
①が素数であるから, ② より gtp=r, g-p=1
g-p=1 (奇数)であるから, g, かは偶奇が異なる。
更に, p<g であるからp=2
よってg=3
ゆえに
r=3+2=5
したがって
(p, q, r)=(2, 3, 5)
POINT
①
また n-4<n+6
n-4>0
2005 ·· (*)
H
5+2=3
奇
偶偶 =
まず, 因数分解。
(*) n-4=1が満たされて
もn+6=(合成数)となって
しまっては不適となる。 その
ため。n²+2n−24 が素数と
なることを確認している
[n+6=5+6=11 (素数) の
確認だけでも十分である ] 。
素数は2以上の整数。
g, かのどちらか一方は 2
となる。
2 整数の和(または差)が偶数2整数の偶奇は一致する
2 整数の和 (または差)が奇数2整数の偶合は異なる
(1)は自然数とする。 次の式の値が素数となるようなをすべて求めよ
(ア) n²+6n-27
