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重要例題6
19
n桁の数の決定と二項定理
1) 次の数の下位5桁を求めよ。
(ア) 101100
(イ) 99100
2951を 900 で割ったときの余りを求めよ。
【類お茶の水大)
基本1)
1章
) これらをまともに計算することは手計算ではほとんど不可能であり,また, それを要
求されてもいない。そこで、次のように二項定理を利用 すると, 必要とされる下位5
桁を求めることができる。
(ア) 10100=(1+100)00=(1+10°) 100
1
これを二項定理により展開し,各項に含まれる
10"(n は自然数)に着目 して、下位5桁に関係のある範囲を調べる。
(イ) 99100=(-1+100)'00=(1+10°)100 として, (1) と同様に考える。
(2)(割られる数)= (割る数)×(商)+(余り)であるから, 2951 を 900 で割ったときの
商をM, 余りをrとすると, 等式 2951=900M+r(M は整数,0ハr<900) が成り立つ。
29=(30-1)であるから, 二項定理を利用して, (30-1)51 を 900M+r の形に変形
すればよい。
109
解答
)(ア) 101100-(1+100)100=(1+10°) 0
そリ+ 100C」×10°+ 100C2×10*+10°×N
=1+10000+495×105+10°×N (N は自然数)
4展開式の第4項以下をまと
めて表した。
10"×N(N, n は自然数,
n25)の項は下位5桁の計
算では影響がない。
この計算結果の下位5桁は, 第3項,第4項を除いても変
わらない。
よって,下位5桁は
イ) 99:00-(-1+100)100=(-1+10) 10
=1-100C」×10°+100C2×10*+10°×M
=1-10000+49500000+10°×M
=49490001+10°×M(M は自然数)
この計算結果の下位5桁は,第2項を除いても変わらない。
よって,下位5桁は
2951=(30-1)
=3051-sC,×3050+
=30°(3049-5C,×3048+
=900(3049-51C」×3048+… 5.C9) +1529
=900(309-5C.×3048+… s.Co+1)+629
こで、309-siC」×3048+ s.C49+1 は整数であるから,
5を900 で割った余りは 629 である。
10001
4展開式の第4項以下をまと
めた。なお,9900 は 100 桁
を超える非常に大きい自然
数である。
で0ト含まれるきは 900
90001
1900=30)
…………一5C49× 30°+sCso× 30-1
- 5IC49)+51×30-1
4(-1)"は
rが奇数のとき-1
rが偶数のとき
41529=900+629
S0 (05
5
(南山
]である。
を求めよ。
1 10115の百万の位の数は
【類中央
3次式の展開と因数分解、二項定理
