13 約数と倍数
*102 a. b. cは5で割石
a+26+3c を5で割ると
ある。
例題13(1) すべての自然数nについて, n'を4で割ったときの余りは0か
1のいずれかであることを示せ。
(2) 自然数の組(x. y. z) が等式 x+y°=z? を満たすとき, xとyの少なく
とも一方は偶数であることを示せ。
103 24の倍数で, 正の
[類 13 早稲田大)
*104 nは整数とする。
(1) n(n+1) が偶数であ
指針 倍数の問題 1 Nがnの倍数 → N=nl (1 は整数)
② 整数を分類して考
える。
3 連続する2つの整数の積は2の倍数。 連続する3つの整数の積は6の倍数。
(1) kを自然数とする。
n=2k のとき n3(2k)3D4K° であるから, n°を4で割ったときの余りは
n=2k-1 のとき n'=(2k-1)%3D4(k°ーk)+1 であるから, n°を4で割ったとき
2+1
[2] 3n, 3n+1, 3n+2 (3n, 3n±1)
(2) n(n+1)(2n+1) が
0
*105 最大公約数が8.
全部で 口組ある。ま
( コ である。
の余りは 1
よって, n°を4で割ったときの余りは0または1である。
(2) xとyがどもに奇数であると仮定する。
このとき,x=2k-1, y=21-1 (k, 1は自然数) と表される。
ここで x*+y°=(2k-1)*+(21-1)*=4(k°ーk+1パー1)+2
ゆえに, x+yを4で割ったときの余りは 2
また, (1)から, zを4で割ったときの余りは 0または1
よって x+y°キz? (矛盾)
証明終
106 4, bを自然数とす
(1) abが3の倍数である
(2) a+bと abがともに
