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20min 2
図e
QAR-P
図
sin'=
√2RY
cos'=-
2R
△PQSはSが
直角三角形であるから
図 a
きの周期をT' とすると To'=2
amo=2x2k
mo
=2To
となる。 To = 1.0s より To'=2×1.0=2.0s
(3) 小球の質量をm[kg] にしたときの周期をT T[s] -
xの位置での運動方程式
ma=-kx
k
a=-x=ω'x
m
/k
2丁
80=
m
とすると
@mo
im
T=2x1
Im
mo
-X2π
To
「T=-
より
k
HP
w
2R
となるので,TとT の間にはT=,
m To
Vemo
0 mo
Amo m (kg)
図b
となる。
の関係が成りたつ。
よってTとの関係は図bのようになる。
N
55 2本のばねによる単振動〉
g)。
か
x=Asin (wt+0)
振幅は4であり, 70 のとき x=0 であるから
ので√2R すなわち
意して√を開くこと。
220であることに
0=Asin0 よって sin0=0 より = 0
これより x=asinwt A
v=aw cos wt*A+B+
(2) 単振動する物体Pの加速度αは α-aw'sin wtB
8
図g
mg
mrw
CPから半球面の足
CA√R²+R²=√
10 のとき原点を正の向きに通過 このとき, 位置 xは0, 速度は最大となる
(3)時間を求めるときは単振動の周期 Tを用いる。 また, 円運動にもどって考えるとよい。
(4) 変位 0 のとき速さは最大, 変位が最大 (もしくは最小)のとき速さは0となる。
(5) 力学的エネルギー保存則より, 「運動エネルギー K+ 弾性力による位置エネルギーU=一定」 となる。
(1) 単振動の変位と速度を表す式は, 振幅を A, 初期位相を とすると
← A 別解
0
v=Awcos (wt+0)
-a
......①
......②
この運動のx-t図は + sin
型となるので x=asinwt
① 式を用いて整理すると α=-x ....... ③
kx kx
aw
また、物体Pの変位がxのとき,物体Pが受ける 0000000000
0
力は図aより
F=-kx+(-kx)=-2kxC
......④
am
(3) ④式と,単振動の周期の式 「T=2π」 で K=2k だから,周期Tは
m
2m
T=2nv2k=nv k
to=
90°
360°
単振動は円運動の正射影であるから, 物体Pがx=α
に達してから初めて原点を通過するまでの時間to は
π 2m
60°
・T=
-aw
同様に, v-t図は +cos 型で,
の最大値は aw であるので
v=aw cos wt
←B 別解 x=asinwt を
tで微分して
dx
v= =aw coswt
dt
また,v=awcoswt を tで微
0
a
分して
dv
0
ax
Q= =aw'sin wt
dt
図24
◆C
合成ばねのばね定数
は2kとなる。
物理重要問題集 57
じとなる。
。
を求める。
同じ｡
√g²+a²
55. <2本のばねによる単振動〉
B
mmmmmm
図のように, なめらかな水平面上に質量mの物体Pが同
じばね定数kをもった2つのばね A, B とばねが自然の長さ
にある状態でつながっている。 水平面上右向きにx軸をとり,
このときの物体Pの位置をx座標の原点Oとする。 物体PをばねAのほうへ原点Oよりαだ
けずらしてからはなす。 このとき物体Pは単振動する。 単振動は等速円運動の軸上への正
射影の運動であるといえる。 時刻 t=0 において, 物体Pはちょうどx座標の原点Oを正の
向きに向かって通過した。 ばねの質量はないものとして,次の問いに答えよ。
(1) 時刻 t における物体Pの位置xおよび速度vを, 等速円運動の角速度を用いて表せ。
(2) 時刻 t において物体Pが位置xにあるときの加速度αを, wとxを用いて表せ。また,2
つのばねAとBから受ける力Fを, kxを用いて表せ。
(3) 物体Pがx=αに達してから, 初めて原点を通過するまでの時間と初めて
X= αを通過するまでの時間を, kmを用いて表せ。
(4) 物体Pの運動エネルギーKの最大値とそのときの位置, およびばねの弾性力による物体
Pの位置エネルギーUの最大値とそのときの位置を表せ。 ただし, やTを用いないこと。
(5) 物体Pが単振動しているときの速度と位置xの関係を求め, vを縦軸に, xを横軸にと
[ 香川大 改
ってグラフに示せ。 このとき座標軸との交点を, a, k および を用いて表せ。 また, 物
体Pが時間とともに図上をたどる向きを矢印で表せ。
