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基本 例題
95 関数が極値をもつための条件
0000
a
2 は定数とする。 関数f(x)=
x+1
x2+2x+a
について,次の条件を満たすαの値ま
たは範囲をそれぞれ求めよ。
(1) f(x) がx=1で極値をとる。
(2) f(x) 極値をもつ。
/p.162 基本事項 2 基本 94 重要 96
指針
f(x) は微分可能であるから
f(x) が極値をもつ⇔
[[1] f (x)=0となる実数αが存在する。
[[2] x=αの前後でf'(x) の符号が変わる。
まず必要条件 [1] を求め, それが十分条
件 [2] も満たす) かどうかを調べる。
f'(x)
f'(x)=0 0=(2
f'(x) f'(x)\
極
f'(x)
<0 <0
>0
小
f'(x) = 0
(1) f(1) = 0 を満たすαの値 (必要条件) を求めてf(x)に代入し, x=1の前後で
f(x) の符号が変わる (十分条件) ことを調べる。き
TRAHD
(2) f'(x)=0が実数解をもつためのαの条件(必要条件) を求め、その条件のもとで,
f'(x) の符号が変わる (十分条件)ことを調べる。
なお,極値をとるxの値が分母を0としないことを確認すること。
4
章
1
内
AR
90
f'(x)=
定義域は,x2+2x+α≠0 を満たすxの値である。f(x)の分母)≠0
1(x2+2x+a)(x+1)(2x+2)
2+2x-a+2
u'v-uv
(x2+2x+α)2
x2+2x+α) 2
v2
(1) f(x) は x=1で微分可能であり、 x=1で極値をとる
とき f'(1) = 0
第1
必要条件。
(分子)=1+2-a+2=0, (分母)=(1+2+α)20(
よって α=5 このときf'(x)=(x+3)(x-1)
<a=5は
の解。
(x2+2x+5)2
ゆえに、f'(x) の符号はx=1の前後で正から負に変わ十分条件であることを示
り, f(x) は極大値 f(1) をとる。 したがってd=5
0x
(2)f(x)が極値をもつとき, f'(x)=0となるxの値が(この確認を忘れずに!)
あり, x=cの前後でf (x) の符号が変わる。(x)
よって, 2次方程式x2+2x-a+2=0の判別式Dにつ
て D0 すなわち 12-1 (-α+2)>0
これを解いて a>1
このとき,f'(x)の分母について {(x+1)'+α-1}^≠0
であり、f'(x)の符号はx=cの前後で変わるからf(x)
は極値をもつ。 したがって a>1
x=c(C1とC2の2つ)の前
後でf'(x) の符号が変わる。
=x+2x-a+2
x
+
+
C1
C2 x
