23. リヤプノフ関数と安定性*
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間 23.2 微分方程式系
dy
=ーC
dt
(12)
da
=リー(=/3-2),
(μ は負定数)
dt
について,次の間いに答えよ。
(1) V(r,g) = (z° +y°)/2 とする. このとき V12) (z,4) を求めよ。
(Ans. -μ(z°/3 -1)a?)
(2) (12) の平衡点 (0,0) は安定であることを示せ。
(3) [研究] 点 (o,Yo) が (2o)? + (yo)? <3 を満たすとする. このとき, (zo,10)
を通る解はt→8とすると (0,0) に収束することを示せ。
(ヒント. E={(0,9) : -0 <y < 8} であることに注意し, LaSalle の不変原理
と呼ばれる結果(下記参照) を適用する.)
【参考)
RT 内の集合 Mは, 任意の co E Mに対し, zoを通る (2) の解が常に M に留まるな
らば (2) に対する不変集合と呼ばれる。
LaSalle の不変原理 V(z) (zE S) は (2) のリヤプノフ関数とする. このとき, S
内に留まる(2) の有界解は, t→ o とするとき E:={ueS:Vg)(z) =D 0} に含まれ
る(2) の最大不変集合に近づく
