例題 21
文字係数の2次関数の最大・最小
aは定数とする。 関数y=x2-4ax+α2 (0≦x≦4) の最大値を求めよ。
例是
考え方 αのとる値によって、軸の位置が変わる。
グラフが下に凸のとき,軸から最も遠いxの値で最大値をとる。
解答】
これより,軸x=2aの位置について以下のように場合分けをする。
[1] 定義域の中央より左 [2] 定義域の中央 [3] 定義域の中央より右
y=(x-2a)2-3a²
y=x2-4ax+αを変形すると
よって、この放物線の軸は直線x=2αである。
また定義域の中央の値は 2,
x=0 のとき y=α2, x=4のときy=α²-16a+16
[1] 2α <2 すなわち α <1のとき
x=4で最大値α² -16a+16
[2] 2α=2 すなわち α=1のとき
x=0, 4で最大値 1
[3] 2<2a すなわち 1<αのとき
x=0で最大値α 答
[1]
a²-16a+16
1
1
1
[2]
Ay
[3]
I
1
1
2
O
14
x
1
12aa2
-3
\1
04
x
-3a²
a2-16a+16
考え
解
CE
TT
"
22a 4!
TH
1 X
17
"
-3a2
