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要 例題 74
4次関数の最大・最小
00000
最小
基本 60
1≦x≦5 のとき,xの関数 y=(x2-6x)2+12(x2-6x)+30 の最大値,
値を求めよ。
C HART & SOLUTION
4次式の扱い
共通な式はまとめておき換え
変域にも注意
p.30の4次式の因数分解で学習したように, x6x が2度出てくるから,
6x=1 とおくと y=f+12t+30 と表され, tの2次関数の最大・最小問題として考え
ることができる。
ここで注意すべき点は,tの変域は、xの変域 1≦x≦5 とは異なるということである。
1≦x≦5 における x26xの値域がtの変域になる。
解答
x2-6x=t とおくと
t=(x-3)2-9 (1≦x≦)
xの関数のグラフは図 [1] の実
線部分で, tの変域は
-9515-5
y を tの式で表すと
y=t2+12t+30=(t+6)2-6
① における tの関数yのグラフ
[1]
3 5
-5
[1] グラフは下に凸で、
x=3 は定義域 1≦x
の中央にあるから,
x=1, 5 で最大値
x=3
で最小値
をとる。
は図 [2] の実線部分である。
① において, yは
t=-9 で最大値 3
t=-6 で最小値 -6 をとる。
t=-9 のとき
図 [1] から x=3
②
x2-6x=-6
x2-6x+6=0
[2],
最大
13
-9
-6-5
O
t=-6 のとき
最小
すなわち
これを解いて x=3±√3
③
② ③ は 1≦x≦5 を満たす。
以上から
56
[2] グラフは下に凸
t=-6 は定義域
-5の右
あるから, yは
t=-9 で最大値
t=-6 で最小値
をとる。
inf 関数は x の式
られているから、最
最小値をとる変数の
x=3 で最大値3, x=3±√3 で最小値-6 をとる。で答える。
