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つ
重要 例題 18 因数分解 (対称式 交代式) (2)
①①①①①
37
次の式を因数分解せよ。あることを用いて、
(1) a(b+c)+b²(c+a)+c²(a+b)+3abc
(0)
*C (2) a°(b-c)+b(c-a)+c(a-b)
基本 15.17
1
指針 例題 17 同様, a,b,c の, どの文字についても次数は同じであるから,1つの文字,
草
例えばαについて整理する。
(1) α について整理するとα+■a+▲ (aの2次3項式)
→係数
に注意してたすき掛け。
CHART 因数分解 文字の次数が同じなら1つの文字について整理
(1) a^(b+c)+62(c+a)+c(a+b)+3abc
解答
②因数分解
(1)
=(b+c)a°+(62+c+3bc)a+bc (b+c)
1
={a+(b+c)}{(b+c)a+bc}
b+c
b+c → b2+2bc+c2.
b+c bc → bc
bc (b+c) 62+3bc+c2
=(a+b+c)(ab+bc+ca)
(2) a³(b-c)+63(c-a)+c³(a-b)
=(b-c)a3-(b3-c³)a+b3c-bc³
=(bc)a³-(b-c)(b²+bc+c²)a+bc(b+c)(b−c)
=(b-c){a-(62+bc+c)a+bc(b+c)}
=(b-c){(c-a)b2+c(c-a)b-a(c+a)(c-a)}
=(b-c)(c-a){b2+cb-a(c+a)}
=(b-c)(c-a) (b-a){c+(b+α)}
=(b-c)(c-a) (b-a) (a+b+c)
αについて整理。
<係数を因数分解。 共通因
数 b-c が現れる。
<{}内を次数の低い
について整理。 共通因数
c-αが現れる。
これでも正解。
=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) (c+x+5x)=
輪環の順に整理。
対称式交代式の性質
E
検討
上の例題で, (1) はα, b, c の対称式, (2) は a,b,cの交代式である。
さて、対称式交代式にはいろいろな性質があるが, 因数分解に関しては次の性質があるこ
とが知られている。
① a, b c の 対称式は, a+b, b+c, c+αの1つが因数なら他の2つも因数である。
② a, b c の交代式は,因数 (a-b) (b-c) (c-a) をもつ 〔上の例題 (2)] 。
上の例題 (2) においては, 因数 (a-b) (b-c) (c-a) をもつことを示すために
(a-b) (b-c)(c-a) (a+b+c) と変形して答えている。
練習 次の式を因数分解せよ。
③_18 (1) ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc
(2) a(b-c)3+b(c-a)³+c(a-b)³
