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に
直交する2 接線の交点の軌跡
重要 例題 66
00000
|楕円x2+4y2=4 について, 楕円の外部の点P(a,b) から,この楕円に引いた
本の接線が直交するような点Pの軌跡を求めよ。
[類 お茶の水大]
指針 点Pを通る直線y=m(x-a)+6が,楕円x2 +4y² = 4 に接するための条件は,
x2+4{m(x-a)+b}=4 の判別式Dについて, D=0が成り立つことである。
また, D=0の解が接線の傾きを与えるから,直交⇔傾きの積が1と 解と係数の関
なお,接線がx軸に垂直な場合は別に調べる。
係を利用する。
[参考] 次ページでは、楕円の補助円を利用する解法も紹介している。
CHART 直交する接線 D = 0, (傾きの積)=-1の活用
解答
[1] a≠±2のとき,点Pを通る接線の方程式は
y=m(x-a)+6
とおける
これを楕円の方程式に代入して整理すると
(4m²+1)x2+8m(b-ma)x+4(b-ma)²-4=0*
このxの2次方程式の判別式をDとすると
ここで
D
4
Me ZV
-=16m²(b-ma)²-(4m²+1){4(b-ma)²—4}
=-4(b-ma)2+4(4m²+1)
=4{(4-α²)m²+2abm-b2+1}
ゆえに
(4-a²)m²+2abm-b²+1=0
164-
の2次方程式 ① の2つの解をα, β とすると αβ=-1
すなわち
-62+1
4-a²
よって
a2+62=5a≠±2
OLA
[2] a=±2のとき,直交する2本の接線はx=±2,y=±1
GRESICE
2-1
D=0
(複号任意) の組で, その交点の座標は
(2, 1), (2, −1), (−2, 1), (−2, −1)
これらの点は円x2+y2=5上にある。
[1], [2] から求める軌跡は 円x2+y2=5
Eve
-√5
2) (JS _0) MEI (6,D)¶
d£+(p-
y
√5
1|
-20
-1
基本63
-
P(a, b)
2
√5
5 x 2 +4y2=4
x
(*) (b-ma) のまま扱うと,
計算がしやすい。
直交傾きの積が1
< 解と係数の関係
2次方程式
px2+gx+r=0 について,
r
-=-1が成り立つとき,
p
TH_q²-4pr=q²+4p²>0
となり、 異なる2つの実数
解をもつ。
117
[参考] m の2次方程式 ① が異なる2つの実数解をもつことは, 楕円の外部の点から2本の接線が
引けることから明らかであるが (解答の図参照), これは次のようにして示される。
D'
mの2次方程式 ① の判別式をDとすると2=(ab)"-(4-a²)(−b°+1)=a²+462-4
点Pは楕円の外部にあるから ² +45²>4> が成り立つ理由は p.125 参照。) ゆえに D'>0
なお,一般に楕円の直交する接線の交点の軌跡は円になる。この円を準円という。
67
練習
aは正の定数とする。 点 (1, α) を通り, 双曲線x-4y²=2 に接する2本の直線
[福島県医大] Op.121 EX45~47
66が直交するとき, αの値を求めよ。
2章
8
2次曲線の接線
