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基本例題 69 重心と線分の比面積比
右の図の△ABC で, 点D, Eはそれぞれ辺BC, CA の中
点である。 また, AD と BE の交点をF,線分 AF の中点を
G, CG と BE の交点をHとする。 BE=9のとき
(1) 線分 FH の長さを求めよ。
(2) 面積について, △EBC=[
練習
69
解答
(1) AD, BE は△ABCの中線であるから, その交点 F は
△ABC の重心である。
よって
ゆえに
FE= BE=1/3×9=3
1
2+1
また, CとFを結ぶと, CG, FEは
の中線であるか
AFC
ら、その交点Hは△AFC の重心である。
2
2+1
よって, FH: HE=2:1から FH=
口 (2) △FBC: △FBD=BC: BD =2:1
よって △FBC=2△FBD
また
△EBC: △FBC=EB: FB=3:2
ゆえに △EBC=
BF:FE =2:1
| △FBD である。
指針 (1)点F は △ABCの中線 AD, BE の交点であるから,点Fは△ABCの重心
そこで,三角形の重心は各中線を2:1に内分するという性質を利用し,線分
の長さを求める。次に, 補助線CFを引き,
AFC で同様に考察する。
3
2
(2)△EBCと△FBC, AFBCと△FBD に分けると,それぞれ高さは共通である。
よって、 面積比は底辺の長さの比に等しいことを利用する。
--------
まず, △FBC を △FBD で表し,それを利用して △EBC を △FBD で表す。
880064
CHART 三角形の面積比 等高なら底辺の比等底なら高さの比
AFBC
p.407 基本事項 ④
=1/3×2.
X2AFBD=3AFBD
B
×FE=
=1/3×3=2
A
F
D
h
h
E
右の図のように,平行四辺形 ABCD の対角線の交点を
0, 辺BCの中点をMとし, AMとBDの交点を P
線分 OD の中点をQ とする。
(1) 線分PQの長さは,線分BDの長さの何倍か。
(2) △ABP の面積が6cm²のとき m. m
00000
B
B
かくれた重心を見つけ出す
/G
F
D
Pl
A
A
H
M
高さは図のんで共通。
∴ 面積比=BC : BD
C
高さは図のん で共通。
面積比=EB:FB
注意: は
「ゆえに」を表す
記号である。
0
Sut
)
指
C
△定
定
AI
よゆよ
ま
944
