ISE
00000
140
基 本 例題 89 不等式が常に成り立つ条件 (絶対不等式)
(1) すべての実数xについて, 不等式x+ax+a+3>0 が成り立つように
定数αの値の範囲を定めよ。
Ep.135 基本事項②
(2) すべての実数xに対して, 不等式 kx2+(k+1)x+k ≧0 が成り立つよ
うな定数kの値の範囲を求めよ。
CHART O
定符号の2次式
常に ax²+bx+c>0⇔a> 0, D<0
ax²+bx+c≤0
a<0, D≤0
(1) x2の係数は 10 → D<0であるαの条件を求める。
OLUTION
(2) 単に「不等式」 とあるから, h=0 の場合 (2次不等式でない場合)も考える
ことに注意。 k≠0 の場合, k<0 かつ D≦0 であるんの条件を求める。
解答
(1) x2+ax+a+3=0 の判別式をDとする。
x 2の係数は正であるから、常に不等式が成り立つ条件は
D<0
D70
ここで D=a²−4•1•(a+3)=a²-4a-12=(a+2)(a−6)
D<0 から 求めるαの値の範囲は
(2) kx2+(k+1)x+k≦0
[1]①k=0 のとき, ① は
x≤0
これはすべての実数xに対しては成り立たない。
[2] k=0 のとき, 2次方程式 kx2+(k+1)x+k=0 の判別
式をDとすると,すべての実数xに対して, ① が成り立
つための条件は k<0 かつD_0③
ここで
D=(k+1)2-4・k•k=-3k2+2k+1
=−(3k+1)(k−1)
(3k+1)(k-1)≧0
1≤k
k≤-
① とおく。
D≦0から
よって
k<0 との共通範囲をとると k-1/3/3
k≤-
以上から、求めるkの値の範囲は
3
-2<a<6
9
k25 - ²1/12
-1
11-3
◆下に凸の放物線が常に
x軸の上側にあるため
の条件と同じ(p.135基
本事項 2 参照)。
(1)
下に凸
D<0
(2) 問題文に「2次」 不等式
とは書いてないので,
0の1次不等式の場
合も調べる。
(2) [2]
上に凸
D≤0
