赤線の引いてあるところが分かりません。 いきなりこんな式が出てきて、何をしているのか何故そうなったのかを知りたいです。 また、この問題の場合は別解の方が簡単でしょうか？ よろしくお願いいたします。

31であり、こ 4 次の等式を満たす整数x,yの組を1つ求めよ。 *(1) 24x+19y=1 (2) 43x+18y=5 が自然数のとき 7 +10と2月は互いに

数学🅰️ 赤線部分がなぜそうなるのか分かりません

130 第7章 整数の性質 重要 例題 29 ユークリッドの互除法と1次不定方程式 (1) 不定方程式 161x+19y=1を満たす整数x,yの組の中で, xの絶対値が 小のものはx=[アイ, y=ウエである。(一 (2) 不定方程式 161x+19y=5 を満たす整数x,yの組の中で,xの絶対値が最 小のものはx=オ, y=カキク である。 POINT! 1次不定方程式の整数解の1組が容易に見つからない場合は、 ユークリッドの互除法を用いる。 ( 51 参考) (2)(1) の等式の両辺を5倍すると 161(5x)+19(5y)=5 よって,(1) で見つけた整数解の1組をそれぞれ5倍したものは 161x+19y=5の整数解の1組である。 解答 (1) 161x+19y=1 161=19・8+9 (19=9•2+1 この計算を逆にたどると 1=19-9・2 ①とする｡ 移項すると 9161-19.8 移項すると1=19-9・2 ...... (01-) (ĉ— 8-) (ar =19-(161-198) ･2 =161(-2)+19･17_ したがって 161・(-2)+19・17=1 ① ② から 161(x+2)+19(y-17)=0 161 19 は互いに素であるから、③より (2) x+2=19k, y-17-161k(kは整数) よって x=19k-2, y=-161k+17 |x|が最小となるのはん=0のときであるから x=アイー 2,y=ウェ17 (2) 161x+19y=5 ④とする。 ②から 161・(−2・5)+19・(17･5)=5 ④ ⑤ から 161(x+10)+19(y-85)=0 161 19 は互いに素であるから,⑥より (5) x+10=19l, y-85-161Z(Zは整数) よって x=19-10, y=-161+85 |x|が最小となるのはl=1のときであるから x=オ9, y=カキクー76 201 0 ←xの係数 161 とyの係数 19 にユークリッドの互除 法の計算を行う。 余りが1になったところ で, 計算を逆にたどる｡ ← ① を満たす 1組の解 x=-2, y=17 が得られる。 ②×5 とすると④を満た す1組の解x=-10, y = 85 が得られる。 参考 x,yの係数の値が大きいときは,係数を小さくする方法が

解き方を教えてください🙇‍♀️

70 整数の剰余 は100 以下の正の整数,nを4で割ると1余り, n²を5で割ると1余る。 このような整数n は全部で アイ 個あり、nの最大値はウエである。 71 1次不定方程式 等式 3x-7y=1 ・① を満たす自然数x,yの組のうち、 xが最小である組は (x,y)=(ア である。これを用いて, ① を満たすすべての自然数x,yの組を求めると (x,y)=(ウ t+ t+ イ) (tは0以上の整数) である。 ア エ

数学の整数の問題です。 (3)から解き方が分からず、困っています。 どなたか教えて頂けたら嬉しいです。

109c を整数とする。 次の問いに答えよ。 (1) 5572は互いに素であることを示せ。 (2) 不定方程式 55x+72y=1の整数解を1組求めよ｡ (3) 不定方程式 55x+72y=cの整数解をすべて求めよ。 (4) c>3960 のとき, 不定方程式 55x+72y=cの整数解でx>0 かつ > 0 をみたすもの が存在することを示せ。

急ぎです！ なぜ青の四角でかこった式になるのか教えてください！

562 第9章 整数・数 Think 例題269 不定方程式 57x+13y=1 の整数解を求めよ。 1 考え方 例題268のように特殊解を求めたいが, CE 方程式の整数解(3) Focus 係数が大きいため実際に値を代入して求めるのは困難である. 57 × (整数)+13×(整数) = 1 の式を作るために, ユークリッドの互除法を用いる。 pe TERY 解答 方程式 57x+13y=1 ...... ① の係数 57 と 13 について ユークリッドの互除法を用いる. 57=13×4+5 より, 13=5×2+3 より, 5=3×1+2 より, 3=2×1+1 より, ⑤ に ④ を代入して, m 3-(5-3×1)×1=1 3 ×2-5×1=1 これに3③ を代入して, ( 57-13×4=5 13-5×2=3 5-3×1=2 ...... ④ したがって, ①-⑥ より, ST ( 13-5×2)×2-5×1=1 mmm 13×2-5 ×5=1 これに② を代入して, 3-2×1=1….....⑤ 13 ×2-(57-13×4)×5=1 ax ...... 57 × (−5)+ 13×22=1 ARPETUSS 57(x +5)+13(y-22)=0 ·② ・③ HAI y=-57k+22 at S+AT=N ENSJAASEEBR 6 x+5=13k, すなわち, x=13k-5 これを⑦に代入すると, 57×13k=13(22-y) 57k=22-y より, よって, 求める一般解は, x=13k-5, y=-57k+22 (kは整数) 57(x+5)=13(22-y) ......7v 57 13 は互いに素であるから.x+5は13の倍数となる. したがって, kを整数として 5-3×1 I 1-7 | 13–5x 3 X2- |x= ① の (特殊

129. 記述これでも大丈夫ですか？？

JUL 510 OS 00000 基本例題1291次不定方程式の応用問題 3で割ると余り, 5 で割ると3余り, 7で割ると4余るような自然数nで最小の ものを求めよ。 指針▷ 基本 127,128 が共通の数。 8が最小である。 3で割ると2余る自然数は 2,5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 5 で割ると3余る自然数は 3, 8, 13, 18,23, よって、「3で割ると2余り, 5 で割ると3余る自然数」を小さい順に書き上げると 3と5の最小公倍数 15 ずつ大きくなる。 A8, 23, 38, 53, 68, また, 7で割ると4余る自然数は B 4, 11, 18, 25, 32, 39,46,53, A,B から、求める最小の自然数は53 であることがわかる。 このように、書き上げによって考える方法もあるが,条件を満たす数が簡単に見つからな い (相当多くの数の書き上げが必要な) 場合は非効率的である。 -110/ そこで,問題の条件を1次不定方程式に帰着させ、その解を求める方針で解いてみよう。 CTORUTSJEFE 解答 nはx,y,zを整数として,次のように表される。 注意x+2=5y+3 3)=0 S&TS 5y+3=7z+4 n=3x+2, n=5y+3, n=7z+4 小 3x+2=5y+3 から 3x-5y=1 x=2, y=1は, ① の整数解の1つであるから 3(x-2)-5(y-1) = 0 すなわち 3(x-2)=5(y-1)x 3と5は互いに素であるからんを整数として, x-2=5kと表 される。よって x=5k+2(kは整数) ② bom) 3(5k+2)+2=7z+4 ② を 3x+2=7z+4に代入して ゆえに z=-8, k=-4 は、 ③の整数解の1つであるから 7(z+8)-15(k+4)=0 すなわち 7(z+8)=15(+4) 7と15 は互いに素であるから, lを整数として,z+8=157 と 表される。 よって z=151-8 (Zは整数) (Thom) これをn=7z+4に代入して n=7(157-8)+4=1057-528 最小となる自然数nは, l=1 を代入して 53 TE bom) 85-= として解いてもよいが,係 数が小さい方が処理しやす い。 このときy=3k+1 x-7z=2から 7z-15k=4...... ③③ A+ASA-=(A+10)-06-3(x-3)−7(z−1)=0 ゆえに, Zを整数として x=7l+3 これと x=5k+2 を等置し て 5k+2=7l+3 よって5k-71=1 これより, k, lが求められ るが, 方程式を解く手間が 1つ増える｡ 検討 百五減算 2+(3=376)00=1+00=178 ある人の年齢を3,5,7でそれぞれ割ったときの余りをa,b,c とし, n= 70α+216+15c とす る。このnの値から 105 を繰り返し引き, 105より小さい数が得られたら、その数がその人の年 齢である。 これは 3,5, 7で割った余りからもとの数を求める和算の1つで、 百五減算と呼ばれ る。なお,この計算のようすは合同式を用いると,次のように示される。 求める数をxとすると, x=a (mod3), x=6 (mod5) x=c (mod7) であり, n=70a=1•a=a=x (mod 3), n=21b = 1.b = b = x (mod 5), n=15c=1+c=c=x (mod 7) よって, n-xは3でも5でも7でも割り切れるから, 3, 5, 7 の最小公倍数 105 で割り切れる。 ゆえに,を整数として, n-x=105k から x=n-105k このkが105を引く回数である。 TRON 練習 3で割ると2余り,5で割ると1余り, 11で割ると5余る自然数nのうち (3) 129 1000 を超えない最大のものを求めよ。 どのよう できない 3m よー 解答 mnは食 [1] n= よって, x=3m- [2] n= ここで. よって ......) [3] n= ここで よって ......) [1]~[3] 形に表す よって, したが一 (検討 次ペー しかし 然数も なお、 a

129. 記述これでも大丈夫ですか？？

JUL 510 OS 00000 基本例題1291次不定方程式の応用問題 3で割ると余り, 5 で割ると3余り, 7で割ると4余るような自然数nで最小の ものを求めよ。 指針▷ 基本 127,128 が共通の数。 8が最小である。 3で割ると2余る自然数は 2,5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 5 で割ると3余る自然数は 3, 8, 13, 18,23, よって、「3で割ると2余り, 5 で割ると3余る自然数」を小さい順に書き上げると 3と5の最小公倍数 15 ずつ大きくなる。 A8, 23, 38, 53, 68, また, 7で割ると4余る自然数は B 4, 11, 18, 25, 32, 39,46,53, A,B から、求める最小の自然数は53 であることがわかる。 このように、書き上げによって考える方法もあるが,条件を満たす数が簡単に見つからな い (相当多くの数の書き上げが必要な) 場合は非効率的である。 -110/ そこで,問題の条件を1次不定方程式に帰着させ、その解を求める方針で解いてみよう。 CTORUTSJEFE 解答 nはx,y,zを整数として,次のように表される。 注意x+2=5y+3 3)=0 S&TS 5y+3=7z+4 n=3x+2, n=5y+3, n=7z+4 小 3x+2=5y+3 から 3x-5y=1 x=2, y=1は, ① の整数解の1つであるから 3(x-2)-5(y-1) = 0 すなわち 3(x-2)=5(y-1)x 3と5は互いに素であるからんを整数として, x-2=5kと表 される。よって x=5k+2(kは整数) ② bom) 3(5k+2)+2=7z+4 ② を 3x+2=7z+4に代入して ゆえに z=-8, k=-4 は、 ③の整数解の1つであるから 7(z+8)-15(k+4)=0 すなわち 7(z+8)=15(+4) 7と15 は互いに素であるから, lを整数として,z+8=157 と 表される。 よって z=151-8 (Zは整数) (Thom) これをn=7z+4に代入して n=7(157-8)+4=1057-528 最小となる自然数nは, l=1 を代入して 53 TE bom) 85-= として解いてもよいが,係 数が小さい方が処理しやす い。 このときy=3k+1 x-7z=2から 7z-15k=4...... ③③ A+ASA-=(A+10)-06-3(x-3)−7(z−1)=0 ゆえに, Zを整数として x=7l+3 これと x=5k+2 を等置し て 5k+2=7l+3 よって5k-71=1 これより, k, lが求められ るが, 方程式を解く手間が 1つ増える｡ 検討 百五減算 2+(3=376)00=1+00=178 ある人の年齢を3,5,7でそれぞれ割ったときの余りをa,b,c とし, n= 70α+216+15c とす る。このnの値から 105 を繰り返し引き, 105より小さい数が得られたら、その数がその人の年 齢である。 これは 3,5, 7で割った余りからもとの数を求める和算の1つで、 百五減算と呼ばれ る。なお,この計算のようすは合同式を用いると,次のように示される。 求める数をxとすると, x=a (mod3), x=6 (mod5) x=c (mod7) であり, n=70a=1•a=a=x (mod 3), n=21b = 1.b = b = x (mod 5), n=15c=1+c=c=x (mod 7) よって, n-xは3でも5でも7でも割り切れるから, 3, 5, 7 の最小公倍数 105 で割り切れる。 ゆえに,を整数として, n-x=105k から x=n-105k このkが105を引く回数である。 TRON 練習 3で割ると2余り,5で割ると1余り, 11で割ると5余る自然数nのうち (3) 129 1000 を超えない最大のものを求めよ。 どのよう できない 3m よー 解答 mnは食 [1] n= よって, x=3m- [2] n= ここで. よって ......) [3] n= ここで よって ......) [1]~[3] 形に表す よって, したが一 (検討 次ペー しかし 然数も なお、 a

このやり方で答えは合ってますか？

練習 255 ポー 次の不定方程式の整数解を求めよ. (1) 2x+11y=5 ル(文字の (2) 4x+

128.1 写真のような解答でも大丈夫ですか？

508 基本例題 1281次不定方程式の整数解 (2) ax+by=c 次の方程式の整数解をすべて求めよ。 (1) 7x+6y=40 |指針 CHART 不定方程式の整数解 ① ax+by=cの整数解 が第一の方針。 ない。そこで, (2) では,次の方針による解答を考えてみよう。 ① aとbの最大公約数を互除法によって求め,その計算過程を逆にたどる。 …………特に,1=ab+bg の形が導かれたら,両辺をc倍してa(cp)+b(cg) = c 情の注意 [②] 係数を小さくして(本書では係数下げと呼ぶ), 1組の解を見つけやすくする。 なお,検討として 3 合同式を利用する 解法も取り上げた。 (2) 37x-90y=4 1組の解 (b, g) を見つけて α(xp)+b(y-g) = 0 しかし, (1) は比較的見つけやすいが, (2) は簡単に見つから 解答 (1) x=4, y=2は7x+6y=40の整数解の1つである。 ゆえに, 方程式は 7(x-4)+6(y-2)=0 すなわち 7(x-4)=-6(y-2) 7と6は互いに素であるから, kを整数として s-x-4=6k, -(y-2)=7k と表される。 よって, 解は x=6k+4,y=-7k+2 (kは整数) (2) [解法] 37x-90y=4..... ① m=37, n=90 とする。 16=5・3+1 90=37･2+16 から 16=90-37・2=n-2m ...... a 37=16・2+5 から 5=37-16・2=m-(n-2m) ・2 解がすぐに見つからなければ 互除法 または 係数下げ 13 $+(1+)=-17m+7n ゆえに =5m-2n.... から1=16-5・3=(n-2m)-(5m-2n) ・3 37 (-17)-90-(-7)=1 両辺に4を掛けて 37(x+68)-90(y+28)=0 ① ② から すなわち 37(x+68)=90(y+28) 3790 は互いに素であるから, kを整数として x+68=90k,y+28=37k 37 (-68)-90 (-28)=4 と表される。 x=90k-68,y=37k-28(kは整数) よって,解は [解法 [②2] 9037･2+16から, 37x-90y=4は 37x- (37・2+16)y=4 基本 127 演習 131 すなわち 37(x-2y)-16y=4 x-2y=s･･････ ① とおくと 37=16・2+5から (16-2+5)s-16y=4 (2) 37s-16y=4 ■7x+6y=40から 7x=2(20-3y) よって, xは2の倍数であ る。このようにして、方程 式を満たす整数解を見つけ る目安を付けるとよい。 互除法 の利用。 文字におき換えて変形。 前ページ参照。 16 に を代入して整理す る。 16 に ⓐ 5 ⑥ を代入し て整理する。 m²を37, nを90に戻す。 x=-17, y=-7は 37x-90y=1を満たす。 係数下げによる解法。 25 16 192€ b a, ax- 3 #6 aを この また (1) 10 (2 ① よ (2) 2 (3 10 な $12

数Aの不定方程式の問題です (2)3xy+x+6y-2=0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - さらに、3y+1が『3で割って1余る数』 であることに注意すると (x+2,3y+1)=(1,4),(4,1... 続きを読む

練習問題 9 次の方程式を満たす整数x, y をすべて求めよ. (1) (x-2)(y-2)=3 (2) 3.xy+x+6y-2=0 「約数に注目する」手法を練習してみましょう. その場合 (式)x (式)=整数 qas2 という形を作ることがポイントになります. (1) はすでにその形になっています が,(2) はうまく工夫して上の形を作り出す必要があります. 解答 精講 (1)-2,y-2は3の約数であるから 20 (x-2, y-2)=(1, 3), (3, 1). (-1, -3), (-3,-1)< これを解いて 2009 (x, y)=(3, 5), (5, 3), (1, -1), (−1, 1) (2) 3.xy+x+6y-2=0 IC (3y+1)+6y-2=0xでくくる (18) (3y+1)+2(3y+1)-4=0 ←3y+1 がうまく現れるように式を変形 OROT (x+2)(3y+1)=4 (式)×(式)=整数の形 (x+2, 3y+1)=(1,4),(2,2),(4, 1), 「負の約数も 忘れないように 110 H (−1, -4), (-2, -2), (-4, -1) のさらに, 3y+1 が 「3で割って1余る数」 であることに注意すると (x+2, 3y+1)=(1,4),(4,1), (-2,-2) これを解いて, (x,y)=(-1,1),(2,0),(-4,-1) CHRON コメント 一般の方程式を解くときは,(式)×(式)=0 の形を作らなければいけません が,整数解の問題では右辺に 「0以外の整数」が残っていても構いません.定 数のズレは無視して, 因数分解ができる形 を調整していきます.