どのような2つの0以上の整数 m, nを用いても,x= 3m+5n の形では
表すことができない正の整数xをすべて求めよ。
Action》 am + bn で表せない数は,具体例から剰余類を考えよ
具体的に考える
のとき,具体的にxの値を考える。
n= 0, 1, 2,
(7) n=0 のとき
+3 +3 +3 +3
3の剰余類
3で割り切れる
→x= 0, 3, 6, 9, … →0以上で
x= 3m
(イ) n=1 のとき
x= 3m+5 →x= 5, 8,i1.
+3 +3 +3
→5以上で: 3で割ると 2余る
(ウ) n=2 のとき
x= 3m+10 →x= 10, 13, 16.
+3 +3 +3
… → 10 以上で; 3で割ると1余る
= 3m+ 5n(m, nは0以上の整数)…① とする。
(7) n=0 のとき
のは
よって,3で割り切れる0以上の整数はすべて ①の形で
7
1nの値を0, 1, 2として,
m の値を変化させたとき
① の形で表される数はど
のような整数か考える。
章
x= 3m(m=0, 1, 2, …)
18
表せる。
イ) n=1のとき
のは
x= 3m+5 = 3(m+1)+2
(m= 0, 1, 2, )
よって,3で割ると2余る整数のうち5以上のものはす
べて0の形で表せる。
(ウ) n=2 のとき
のは
x= 3m+10 == 3(m+3)+1
(m= 0, 1, 2, )
よって, 3で割ると1余る整数のうち 10以上のものはす
べて0の形で表せる。
(7)~(ウ)より,10 以上の整数はすべて① の形で表せる。
また, n23 とすると, 5n>15 であるから, x= 3m+5n
は14以下の整数を表すことはできない。
よって,① の形で表せない整数は
3で割ると2余る4以下の整数 2 と
3で割ると1余る9以下の整数 1, 4, 7 である。
Vしたがって,求める正の整数x は
43で割った余りで分類し
ているから,(ア)~(ウ)よ
り,10以上の整数につい
てはすべて①の形で表
せることが分かる。
1, 2, 4, 7
7を用いても,x= 5m+7n の形では表す
市 光
eユークリッドの互除法と不定方程式」
思考のプロセス
