これの4行目の式変形で2/3でくくってるところがあると思うんですけど、なんで2/3でやればいいって思いつくんでしょうか？

うよ。 △ABCと点P に対して, 等式 2PA+3PB+PC = 0 が成り立つとき、点Pはどのような 位置にあるか。 点A に関する位置ベクトルを考えて, 等式を変形すると -2AP+3(AB-AP)+(AC-AP) = 0 |整理すると, 6AP=3AB+AC であるから AP- 3AB + AC 2/3AB+AC 2 = = 6 3 1+3 ゆえに 辺BCを1:3に内分する点を Q とすると P. AP=² AQ B1 Q C よって, 辺BCを1:3に内分する点をQ とすると, 点Pは, 線分AQ を21 に内分 する点である。

数C 位置ベクトル 59と60の問題について、考え方が付属の回答とかなり異なっていたためこのような答え方考え方でも大丈夫なのか見て頂きたいです。 よろしくお願い致します。 付属の回答も付けました。

B 59 △ABC の辺BC, CA, AB を 2:1に内分する点をそれぞれ D, E, F とする。 このとき, △ABCと△DEF の重心が一致することを証明せよ。 A 51,52 □ 60 四角形ABCD の辺 AB, BC, CD, DA を 3:2に内分する点をそれぞれ E,F,G, A 51 Hとする。 四角形 EFGH が平行四辺形ならば, 四角形ABCD も平行四辺形であること を証明せよ。 AJ 53 □ 61 △OAB において,辺OA を 3:1に外分する点をC, 辺ABを32に内分する点を D, 線分 BC を 1:kに内分する点をEとする。01 (1) OA = c, OB = とするとき, OE を a, とんを用いて表せ。 (2)3点 0, D, Eが一直線上にあるとき, kの値を求めよ。 62 平行四辺形ABCD において,辺BCの中点をE, 辺 CD を2:1 に内分する点を F, AJ 55,56 線分AE と線分 BF の交点をPとする。 AB = 1, AD = d として,AP を b, dで表せ。 また, BP:PF, APPE を求めよ。 63 △ABC の辺BC, CA, ABの中点をそれぞれL, M, Nとする。 このとき, A 58 AL = MN ならば AB AC であることを証明せよ。 章 ベクトル 59 AB-B このとき AG B2=-1 AX+AB+AC また、EFDの重心をG'とする。 AC-2 とする。 F E ① - D B 6 DIC AF=AB = 7 B AE=AZ = AB 2 =1/2AB+1/A2 = ++38 -AG 1= 2.11 2. NG AF + KE + AB = +16+ + + (++ 2)] = 1/1/13 ( 1² + 2 ) -② AG=Rよって、△ABCとODEFの重心は一致する。 ①② 64 [OA| =3, |OB| =2, ∠AOB=60° の △OAB において,点0から直線ABに垂 線を下ろし、直線ABとの交点をHとする。 OA = 1, OB = とするとき, OH を a, 方で表せ。 60腐=AD= JAC = 2 A HJ D とおく、 E G 四角形 EFGHが平行四辺形ならば の 参考 内積と三角形の面積 教 p.34 65 平面上に3点0(0,0), A(5,12), B(-4, 3)がある。 OA, OB のな 教 p.341 す角を0とするとき, 次の問に答えよ。 (1) cost, sin の値を求めて, △OAB の面積を求めよ。 (2) 原点OA (1, a2), B(b1, b2) を頂点とする △OAB の面積Sは S=1/23 lababy となることを利用して,△OABの面積を求めよ。 66 3点A(4, 3),B(8, 5), C(5, 8) を頂点とする三角形の面積を求めよ。 まとめ 5 HG=EFである。 → HG = AG - AH = (AC+ b) - Ab 5 EF ①より + +2 5 5 AC - AB 2 " → AF - AE =(AB + 26+121-1236 12-16 2/2 + 1/2 J 1 12 - 3 +2126 = = DZ = AZ - AD C-C-B) B = AB よってABCDは平行 2節 ･ベクトルの応用 21 23 このとき、

この問題でCP:PM=s:(1-s), EP:PM=(1-t):tとおくとなぜダメなのか教えてくださいm(_ _)m！！

基本 例題 37 交点の位置ベクトル (2) 00000 平行四辺形ABCD において, 辺ABの中点をM, 辺BC を1:2に内分する点 をE, CDを3:1に内分する点をF とする。 AB=6, AD = d とするとき (1) 線分 CM とFE の交点をPとするとき, A を言で表せ。 【2) 直線 AP と対角線 BD の交点を Q とするとき,AQ をt, d で表せ。 基本26, p.416 基本事項 指針 (1) CP:PM=s:(1-s), EP:PF=t: (1-t)として, p.400 基本例題26(1) と同じ 要領で進める。 APを2通りに表して, 係数比較。 (2)点Qは直線AP上にあるから,AQ=kAP (kは実数) とおける。 点Qが直線 BD 上にあるための条件は AQ=sAB+tAD と表したとき s+t=1 (係数の和が1) CHART 交点 2通りに表して係数比較か, 1通りで (係数の和) = 1 (1) CP:PM=s: (1-s), EP:PF=t: (1-t) とすると18 答 3. +A A d 77 AP=(1-s)AC+sAM=(1-s)(+1)+2 2 8 = (-1/2)+(18) 2 M 1-s AP-(1-t)AE+fAF=(1-1)(6+1/22) +1(1+1/26) P B1E -2 C = (1-1)+1+213 b±ō, à±ỏ, b× à 7 5 3 4 5 HAI-HA a とは1次独立。 と る。 S 3 1+2t 1– -t, 1-s=- と のな 2 4 3 ■ の係数を比較。 6 4 よって S= t= 地方に107 → D F

この問題でCP:PM=s:(1-s), EP:PM=(1-t):tとおくとなぜダメなのか教えてくださいm(_ _)m！！

基本 例題 37 交点の位置ベクトル (2) 00000 平行四辺形ABCD において, 辺ABの中点をM, 辺BC を1:2に内分する点 をE, CDを3:1に内分する点をF とする。 AB=6, AD = d とするとき (1) 線分 CM とFE の交点をPとするとき, A を言で表せ。 【2) 直線 AP と対角線 BD の交点を Q とするとき,AQ をt, d で表せ。 基本26, p.416 基本事項 指針 (1) CP:PM=s:(1-s), EP:PF=t: (1-t)として, p.400 基本例題26(1) と同じ 要領で進める。 APを2通りに表して, 係数比較。 (2)点Qは直線AP上にあるから,AQ=kAP (kは実数) とおける。 点Qが直線 BD 上にあるための条件は AQ=sAB+tAD と表したとき s+t=1 (係数の和が1) CHART 交点 2通りに表して係数比較か, 1通りで (係数の和) = 1 (1) CP:PM=s: (1-s), EP:PF=t: (1-t) とすると18 答 3. +A A d 77 AP=(1-s)AC+sAM=(1-s)(+1)+2 2 8 = (-1/2)+(18) 2 M 1-s AP-(1-t)AE+fAF=(1-1)(6+1/22) +1(1+1/26) P B1E -2 C = (1-1)+1+213 b±ō, à±ỏ, b× à 7 5 3 4 5 HAI-HA a とは1次独立。 と る。 S 3 1+2t 1– -t, 1-s=- と のな 2 4 3 ■ の係数を比較。 6 4 よって S= t= 地方に107 → D F

数Cの平面ベクトルの問題です。 この問題の解説の意味が全体的に理解できません。 特に、(x.y)がどこから出てきたのか、そもそもpベクトルは何なのか、理解できません。 わかる方、細かく教えてください。 よろしくお願いします。

練習 36 中心 C(c), 半径1の円C上の点A(a)における円の接線のベクトル方程式は (a)(c)=2である。このことを用いて,円 (x-a)2+(y-6)2=r2 上の点(x1,y) における接線の方程式が (x1-a)(x-a)+(yi-b)(y-b)=r2であることを示せ。 円の中心の座標は (a, b) であるから ac = (x1,y) (a, b)= (x1-a, y-b) p-c= (x, y)-(a, b) = (x-a, y-b) 中心 C(c), 半径1の円C上の点A(a) における円の接線 ・① .. ② のベクトル 方程式は (a-c)・(b-c=rであるから,①,②よりA (x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=re a-c, p-c を 接点の 座標と中心の座標を用い て成分表示すればよい。

CP:PM=s:(1-s) , FP:PM=t:(1-t) で計算すると答えが合わないのですがなぜだめなのか教えて下さい🙇🏻‍♀️՞

基本 例題 37 交点の位置ベクトル (2) 00000 平行四辺形ABCD において, 辺ABの中点をM, 辺BC を1:2に内分する点 をE, CDを3:1に内分する点をF とする。 AB=6, AD = d とするとき (1) 線分 CM とFE の交点をPとするとき, A を言で表せ。 【2) 直線 AP と対角線 BD の交点を Q とするとき,AQ をt, d で表せ。 基本26, p.416 基本事項 指針 (1) CP:PM=s:(1-s), EP:PF=t: (1-t)として, p.400 基本例題26(1) と同じ 要領で進める。 APを2通りに表して, 係数比較。 (2)点Qは直線AP上にあるから,AQ=kAP (kは実数) とおける。 点Qが直線 BD 上にあるための条件は AQ=sAB+tAD と表したとき s+t=1 (係数の和が1) CHART 交点 2通りに表して係数比較か, 1通りで (係数の和) = 1 (1) CP:PM=s: (1-s), EP:PF=t: (1-t) とすると18 答 3. +A A d 77 AP=(1-s)AC+sAM=(1-s)(+1)+2 2 8 = (-1/2)+(18) 2 M 1-s AP-(1-t)AE+fAF=(1-1)(6+1/22) +1(1+1/26) P B1E -2 C = (1-1)+1+213 b±ō, à±ỏ, b× à 7 5 3 4 5 HAI-HA a とは1次独立。 と る。 S 3 1+2t 1– -t, 1-s=- と のな 2 4 3 ■ の係数を比較。 6 4 よって S= t= 地方に107 → D F

例題10のような問題では位置ベクトルを使わないのに対し、50番のような問題では位置ベクトルを使うのはなぜでしょうか？位置ベクトルを使うときと使わない時の違いがよく分かりません

36 50 △ABCの重心を G とするとき、任意の点Pに対して, 等式 AP+BP-2CP=3GC が成り立っ ことを示せ。 点A,B,C,Pの位置ベクトルをそれぞれ AP+ BP- すると BP-2CP (P-0)+ (P-B)- 2 (P-C) =-a-b² + 20 - Gの位置ベクトルは Z+b+c であるから 3 3GC = 3(-1) = 30- (a+b+c) =-a-b+20- ①②から扉+B-2CP=3GC 5 (1

これってあってますか？

* 線分A1A2,B1B2, C1C2 の中点は一致することを証明せよ。 OUR ABOU ✓54 △ABC の重心をGとするとき、この平面上の任意の点Pに対して,等式 AP+BP-2CP=3GC が成り立つことを証明せよ。

赤で囲っているところはなぜこうなるのですか？

00 本71 C) くる A=Q. 3+GC (00- 30G 針で = 0 基本 例題 31 線分の垂直に関する証明 00000 △ABCの重心を G, 外接円の中心を0とするとき, 次のことを示せ。 OA+OB+OC=OH である点Hをとると,Hは△ABCの垂心である。 (2)(1)の点に対して、3点O,G, Hは一直線上にあり GH=20G [類 山梨大 ] ・基本 25 基本 71 (1)三角形の垂心とは,三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交 点である。 AH 0, BC ≠0, BH = 0, CA ¥0 のとき AHBC, BHICA⇔AHBC=0, BH・CA=0 ...... A であるから, 内積を利用 して, A [(内積)=0] を計算により示す。 Oは△ABCの外心であるから, OA|=|OB|=|OC| も利用。 CHART 線分の垂直 (内積) = 0 を利用 (1) ∠A=90° ∠B=90° としてよ A 直角三角形のときは 解答 い。 このとき,外心Oは辺BC, G CA上にはない。 ① OH = OA+OB+OC から AH OH-OA=OB+OC ゆえに AH・BC =(OB+OC) (OC-OB =|OC|-|OB=0 B C 411 ∠C=90° とする。 このとき,外心は辺AB 上にある (辺AB の中 点)。 1 草 4 位置ベクトル、ベクトルと図形 同様にして60+40 =|OA|-|OC|=0 BC=OC-OB (分割) △ABCの外心0→ OA=OB=OC A0+00 50+1 (数学A) BH・CA=(OA+OC) (OA-OC) また, 1 から AH = OB+OC≠0, BH = OA+OC ¥0 よって, AH ≠0, BC≠0, BH ≠0, CA 0 であるから AH IBC, BHICA すなわち AH⊥BC, BHICA したがって,点Hは△ABCの垂心である。 検討 外心, 重心、心を通る直 線 (この例題の直線 180 OGH) をオイラー線と いう。ただし、正三角形 1 は除く。 (2) OG= OA+O+OC 10日から OH=3OG (1) から 3 3 OA+OB+OC=OH ゆえに GH = OH-OG=2OG よって, 3点0,G, Hは一直線上にあり GH=2OG 練習 右の図のように, △ABCの外側に P Q ③ 31 AP=AB, AQ=AC, ∠PAB= ∠QAC=90° となるように、2点P,Qをとる。 更に、四角形 AQRP が平行四辺形になるように点をと ると,ARIBC であることを証明せよ。 B09 C

この問題でABベクトル•MOベクトル=0となっているのですがABベクトル•OMベクトル=0で計算してはダメなのですか？ お願いします🙏

重要 例題 29 外心の位置ベクトル 00 △ABCにおいて, AB = 4, AC=5, BC=6 とし,外心を0とする。 AOをA AC を用いて表せ。 [類 早稲田大〕 ・基本 指針 三角形の外心は、各辺の垂直二等分線の交点であるから 右図の △ABCの外心Oに対して AB IMO, ACINO これをベクトルの条件に直すと ABIMO, ACINO よって, AO=sAB+ACとしてAB・MO=0, AC・NO=0 から,s, tの値を求める。 M 辺 AB, 辺 AC の中点をそれぞれM, N とする。 答 ただし, △ABC は直角三角形ではないから 2点M, Nは ともに点0とは一致しない。 (*) 点Oは△ABCの外心であるから AB・MO = 0, AC・NO=0 ANICS ABIMO, ACINO ゆえに AO=sAB+tAC (s, t は実数) とすると, AB･MO=0 か ら AB(AO-AM)=0 よって AB {(-1/2)AB+tAC}=0 ...... また, AC-NO=0から AC (AO-AN)=0 HA AQ AOA 119 [最大辺は BC であり BC2 ≠ AB2 + AC2 (*) 直角三角形の外 O (外接円の中心) は, の中点と一致する。 SAHY DA, OB ること ゆえに AC. {sAB+(-1/2) AC}=1 =0 ...... ここで15|BC|=|AC-ABI (1)ABC =|AC|-2AB・AC+|AB| よって 62=52-2AB AC +42 28