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基本 13 等比数列の和 (1)
(1)等比数列 α 302 90°,
し, 0 とする。
10000
・の初項から第n項までの和Sを求めよ。 ただ
(2) 初項 5. 公比の等比数列の第2項から第4項までの和が30であると
実数の値を求めよ。
指針等比数列の和 [1] キ1のとき S=
a(-1)
r-1
→r1, r=1で, 公式 [1], [2] を使い分ける。
p.427 基本事項 重要
[2] r=1のとき
(1)初項α、公比3 の等比数列の和→3a1, 3a=1で使い分ける。
(2)第2項5r を初項とみて, 和をの式で表す。
CHART 等比数列の和 キ1かr=1に注意
(1)初項 α,公比 3a, 項数nの等比数列の和であるから
< (公比) = 3a2
a{(3a)"-1}
1
解答
[1] 341 すなわちαキー 3
のとき Sn=
[2] 3a=1 すなわち a= 1/12 のとき
Sn=na= -n
3a-1
1
3
=3a
公比3aが1のとき
a
でないときで場合分け
基本
初項から
ついて、
初
針
(2)初項 5,公比rの等比数列で,第2項から第4項まで 初項5,公比から
の和は、初項 5, 公比r, 項数3の等比数列の和と考え
られる。 もとの数列の第2項から第4項までの和が-30
であるから
[1] r≠1 のとき
51(3-1)=-30
r-1
整理して
r(r2+r+1)=-6
すなわち
+re+r+6=0
因数分解して
(r+2)(re-r+3)=0
rは実数であるから
r=-2
[2] r=1のとき
第2項から第4項までの和は3.5=15 となり,不適。
r=-2
以上から
注意 等比数列について, 一般項と和の公式のの指数は異なる。
a2=5r, as=5r2,
=53 よって,和を
5 +52 +53 としても
よい。
473-1
=(-1)(r2+r+1)
<1 11 6-2
-22-6
1-13 0
x²-r+3=0は実数解
もたない。
a2=α3=a=5
一般項 an=ar
和 Sn=
a(r”-1)
r-1
rの指数はn
の指数はn-1
